Заданных неявно и параметрически.

Опр. Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция .

Опр. Функция y аргумента x называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной; например, функция , заданная уравнением (заметим, что последнее уравнение задает две функции, при , и при ).

Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных в виде . Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением .

Для нахождения производной функции y, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая y как функцию от x, а затем из полученного уравнения найти производную .

Пример: Найти производную функции y, заданной уравнением , и вычислить ее значение в точке .

Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что y есть функция от x, получим , откуда .

Значение производной при .

Опр. Говорят, что функция задана параметрически, если зависимость между переменными x и y осуществляется посредством третьей переменной t по формулам: (1). При этом переменная называется параметром.

Если x и y рассматривать как координаты точки на плоскости XOY, то при параметрическом задании функции при помощи равенств (1) при изменении параметра t эти точки плоскости описывают некоторую кривую. Про эту кривую говорят, что она задана параметрически. Например, уравнения параметрически задают окружность с центром в начале координат с радиусом R. Если , соответствующие точки координатной плоскости описывают эту окружность.

При параметрическом задании функции, прямая, перпендикулярная к оси абсцисс может пересекать кривую в двух и более точках.

Т. Если функция задана параметрически уравнениями (1) в рассматриваемой точке t, функции и дифференцируемы и , то производная вычисляется по формуле:

Предполагается, что значению t соответствует значение x.

Пример: Написать уравнение касательной и нормали к кривой, заданной параметрически уравнениями: в точке, соответствующей значению параметра .

Решение.

Рассматриваемая кривая представляет собой астроиду.

Найдем точку на этой астроиде, соответствующую значению параметра .

Уравнение касательной: или

Уравнение нормали:

 

 

Лекция № 28.

Тема: «Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Использование понятия производной в экономике».

Рассмотрим функцию и докажем, что для любого .

Действительно,

При этом .

Из соотношения , учитывая непрерывность логарифмической функции, получаем:

, и следовательно, .

Если же , то учитывая равенство , получим: .

Найдем теперь производную функции . Эта функция определена при всех , кроме .

Так как , то окончательно получаем: .

Учитывая полученное равенство, найдем производную функции или, что то же, функции , где . При этом предполагается, что функция не обращается в ноль в рассматриваемой точке и имеет производную в этой точке.

Дифференцируя сложную функцию, получим:

, т.е. (1)

Отношение называется логарифмической производной функции . Как это следует из равенства (1), логарифмическая производная функции равна производной логарифма модуля этой функции.

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле:

Для упрощения записи условимся при логарифмическом дифференцировании знак модуля у опускать.

Пример:

Логарифмируя, запишем: .

Дифференцируя, получим: , откуда

 

Если функция во всех рассматриваемых точках имеет производную , то эта производная в свою очередь тоже является функцией и может иметь производную.

Опр. Производная от производной функции называется второй производной этой функции.

Обозначение: .

По определению .

Аналогично определяются третья производная функции,…, n-ная производная функции .

Определение n-ной производной дается формулой:

.

Производные функции второго, третьего и т.д. порядков называются производными этой функции высших порядков.

Производная функции второго порядка имеет механическое истолкование: она дает скорость изменения скорости изменения самой функции – это ускорение.

Из механики известно, что путь, проходимый телом без сопротивления воздуха, выражается формулой:

Производные высших порядков вычисляются по обычным правилам дифференцирования. Операция нахождения производных называется дифференцированием.

Вывод: При дифференцировании любого многочлена получается многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного многочлена.

n-ная производная многочлена n-ной степени равняется коэффициенту при старшей степени, умноженному на .

С помощью производных можно получить формулу бинома Ньютона:

- представляет собой многочлен n-ной степени. В общем виде его можно записать так:

(1), где - какие-то пока неопределенные числа, коэффициенты.

Предположим, что , тогда . Продифференцируем формулу (1): (2)

Предположим, что , тогда . Продифференцируем формулу (2), в полученном равенстве полагаем, что и рассуждая так же, как и выше, получаем: .

И т.д. После m раз дифференцирования формулы (1) в полученном равенстве, полагая , получаем:

И т.д. После n раз дифференцирования формулы (1) получаем:

Подставляя в равенство (1) найденные значения коэффициентов, получаем формулу бинома Ньютона. Из этой же формулы при и при получим известные формулы для квадрата суммы и для куба суммы двух слагаемых.

Для вычисления высших производных от произведения двух функций существует формула Лейбница. Если и эти функции имеют все производные, то имеет место формула Лейбница:

Экономический смысл производной.

Пусть функция выражает количество произведенной продукции u за время t и необходимо найти производительность труда в момент . Очевидно, за период времени от до количество произведенной продукции изменится от значения до значения ; тогда средняя производительность труда за этот период времени . Очевидно, что производительность труда в момент можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при , т.е. .

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной. Издержки производства будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции . Пусть - прирост продукции, тогда - приращение издержек производства и - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и др.

Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Опр. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при :

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1%.

Лекция № 29.

Тема: «Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический и механический смысл дифференциала»

Пусть функция с областью определения такова, что при переходе от точки к точке получает приращение, которое представляется так:

(1)

не зависит от , - бесконечно малая величина высшего порядка малости по сравнению с , т.е. .

В записи формулы (1) слагаемое при называется главной линейной частью приращения функции, т.е. величина .

Опр. Дифференциалом функции в точке называется величина вида , которая отличается от соответствующего приращения этой функции на величину .

Такой дифференциал обозначается так:

(2)

Следовательно, по определению дифференциала функции мы должны иметь: или (3)

Подставляя в равенство (3) вместо дифференциала его выражение (2), получаем: .

Разделим обе части равенства на и перейдем к пределу при :

Следовательно, получаем утверждение: если в точке функция имеет дифференциал, то она в этой точке имеет производную .

Верно и обратное утверждение: если в точке имеет производную, то она в этой имеет дифференциал. В самом деле:

, то по связи между функцией, имеющей предел в точке, и бесконечно малой величиной в этой точке имеем:

, где - бесконечно малая величина при .

, а это и означает, что функция в точке имеет дифференциал, причем: (4)

По формуле (4) фактически вычисляется дифференциал функции.

Возьмем функцию , вычислим дифференциал по формуле (4):

Дифференциал независимой переменной равняется приращению этой переменной, поэтому формулу (4) можно записать так:

(5)

Пусть . Вычислим дифференциал по определению:

Из формулы (5) получается новое обозначение для производной функции: .

Таким образом, мы имеем для функции четыре обозначения производной: .

Из определения дифференциала и описания главной линейной части приращения функции следует, что дифференциал функции можно определить так:

Опр. Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения этой функции в точке .

На основании формулы (4) дифференциал функции можно определить чисто формально:

Опр. Дифференциалом функции в точке называется произведение производной функции в этой точке на соответствующее приращение аргумента.

Выясним геометрический смысл дифференциала функции, используя формулу (4), и учитывая геометрический смысл производной функции.

Из последнего равенства получаем геометрический смысл дифференциала функции. Дифференциал функции в точке представляет собой приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой при переходе от точки к точке .

Механический смысл дифференциала функции получается из механического истолкования производной функции. Пусть функция выражает закон прямолинейного движения точки, тогда - есть скорость движения в момент времени t. Дифференциал: , где - некоторый промежуток времени. Из этого равенства и получаем механическое истолкование дифференциала функции. Дифференциал функции, выражающей закон прямолинейного движения, представляет собой длину пути, который точка прошла бы, если бы она за промежуток времени двигалась с постоянной скоростью, равной скорости движения в момент времени t.

 

Тема: «Инвариантная форма записи дифференциал. Дифференциалы высших порядков. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям значений функции»

Для вычисления дифференциала функции в том случае, когда является независимой переменной, мы имеем две формулы:

(1)

(2)

Дело в том, что в этом случае . Оказывается, что формула (2) остается верной и в том случае, когда является функцией новой переменной, в то время как формула (1) в этом случае не верна. Убедимся в этом.

Пусть имеем функцию , причем . В этом случае имеем функцию . Вычислим дифференциал этой сложной функции по формуле, имеем:

Дифференциал сложной функции вычисляется по формуле (2).

Итак, формула (2) применима для вычисления производной функции как в случае, когда является независимой переменной, так и в случае, когда является новой переменной. Поэтому говорят, что формула (2) дает инвариантную форму записи дифференциала функции.

Если и эта функция имеет дифференциал, то мы имеем:

Вычисляя дифференциал сложной функции по формуле (1), мы имели бы:

Должно быть: . Значит, формула (1) применима только в том случае, когда является независимой переменной, а когда является зависимой переменной, то формула (1) не верна.

Пусть функция во всех рассматриваемых точках имеет все производные. Тогда эта функция имеет дифференциал:

В такой записи рассматривается как постоянная.

Опр. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка для этой функции: .

(3)

Аналогично определяется дифференциал функции в рассматриваемых точках третьего, четвертого и вообще -ного порядка.

Если , то общее определение дифференциала -ного порядка функции дается формулой:

(4)

Рассмотрим, какие вычислительные формулы получаются для дифференциалов высших порядков. Если - независимая переменная, так что рассматривается как постоянная, то по формуле (3) имеем:

Итак, в случае, когда является независимой переменной для вычисления дифференциала второго порядка от функции , получаем формулу:

(5)

Аналогичным образом получаются формулы для вычисления дифференциала третьего и вообще -ного порядка:

(6)

Формула обладает свойством инвариантности. А формула (5) для вычисления дифференциала второго порядка свойством инвариантности не обладает, т.е. она верна в случае, когда является независимой переменной, но она, вообще говоря, не верна, когда является зависимой переменной, иначе говоря, функцией новой переменной. В самом деле, если , то , а .

В этом случае имеем:

Эта формула с формулой (5) не совпадает, так что (5) для дифференциала второго порядка не обладает свойством инвариантности, она не всегда верна. То же самое можно сказать и о дифференциалах третьего и т.д. порядков.

Если функция дифференцируема в точке , то имеем равенство:

, где

Если в этом случае пренебречь бесконечно малой величиной высшего порядка малости по сравнению с , получим равенство:

Это равенство означает, что при малых приращениях приращения функции приближенно равно ее дифференциалу. Геометрически это означает, что для малых приращений аргумента вместо функции можно рассматривать функцию, графиком которой является касательная к графику в данной точке.

Последнее равенство можно записать так:

или (*)

По этой формуле можно вычислять приближенно значения функции в точках при малых значениях . В частности, если , то из равенства (*) получаем: . Заменяя на , получаем: .

 

Лекция № 30.

Тема: «Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя».

Существует несколько теорем, связанных с производными функций, которые лежат в основе всех применений дифференциального исчисления. Эти теоремы принято называть основными теоремами дифференциального исчисления.

Т. (Ферма): Если функция задана в некоторой окрестности точки и в этой точке принимает наибольшее или наименьшее значение, то , если только эта производная существует.

Док-во:

Предполагается, что принимает наибольшее или наименьшее значение в точке по сравнению с ее значениями вблизи этой точки. Для определенности предположим, что в точке принимает наибольшее значение в указанном выше смысле, и пусть в этой точке существует производная. Имеем: .

Этот предел не зависит от того, каким образом (справа или слева) .

[числитель дроби неположителен, знаменатель тоже, значит дробь неотрицательна] .

(*)

(**)

Оба условия (*) и (**) выполняется, когда .

ч.т.д.

Геометрическое истолкование теоремы Ферма получается из геометрического смысла производной. В точке , в которой дифференцируемая функция имеет местный максимум или минимум, касательная к графику этой функции параллельна оси абсцисс.

Т. (Ролля): Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то существует по крайней мере одна точка , что .

(Без док-ва)

 

Геометрическое истолкование теоремы Ролля очевидно.

Все условия теоремы Ролля существенны в формулировке этой теоремы. Например, если функция непрерывна на отрезке , имеет равные значения на концах этого отрезка, но не дифференцируема во всех точках отрезка, то теорема не верна.

Пример: на . У графика этой функции нет касательных.

Т. (Лагранжа): ): Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то существует точка такая, что:

(1)

Док-во:

Рассмотрим вспомогательную функцию: .

Эта функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , кроме того, имеем: . Так что для функции выполняются все условия теоремы Ролля, т.е. существует , что .

Из последнего равенства получается равенство (1).

ч.т.д.

Замечание. Теорема Лагранжа, как видно из ее доказательства, является следствием теоремы Ролля. В свою очередь теорема Ролля получается из теоремы Лагранжа, если (смотри формулу (1)).

Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Дробь правой части равенства (1) представляет собой тангенс угла наклона хорды AB, соединяющей соответствующие точки графика функции , к положительному направлению оси абсцисс, следовательно, (1) означает, что существует точка с, в которой касательная к графику параллельна этой хорде.