Различные формы записи теоремы Лагранжа

Пусть - фиксированная точка, - приращенная точка, где - произвольное приращение.

, т.е. отношение приращения функции к приращению аргумента есть значение производной в некоторой промежуточной точке.

, где - число от нуля до единицы

(*)

(*) – формула приращений

Следствие из теоремы Лагранжа: Если функция во всех точках промежутка имеет производную, равную нулю, то функция постоянна в этом промежутке.

Док-во:

Пусть и - произвольные точки промежутка. Тогда по теореме Лагранжа:

ч.т.д.

Т. (Коши): Пусть функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем для всех . Тогда внутри данного отрезка найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство:

(Без док-ва)

 

Правило Лопиталя.

Т. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а с выколотым центром, причем в этой окрестности, и пусть . Тогда, если существует предел отношения производных в этой точке, то существует и предел отношения функций, причем имеет место равенство .

Док-во:

Значения функций в точке a нас не интересует, а не изменится, если функции доопределить в точке а, предположив, что . Рассмотрим предел:

 

Таким образом:

ч.т.д.

Замечание: Правило Лопиталя остается справедливым и при и при неопределенности .

Помни!

1) Правило Лопиталя действует, если неопределенность двух типов:

2)

Правило Лопиталя в случае других видов неопределенностей

1) неопределенность «»

2) неопределенности «»

С помощью логарифмирования выражения можно свести к неопределенности или .

Пример:

 

 

Лекция № 31.

Тема: «Формула Тейлора: для многочлена, для произвольной функции, для некоторых элементарных функций»

1) Формула Тейлора для многочлена.

Рассмотрим многочлен степени n:

Разложим данный многочлен по степеням , т.е.

Положим , тогда . Таким образом:

Разложение по степеням многочлена примет вид:

Это формула Тейлора для многочлена.

Пример: Разложить по степеням .

 

Ответ:

 

2) Формула Тейлора для произвольной функции

Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки а производные до порядка и пусть x – произвольная точка из окрестности точки а.

Опр. Многочленом Тейлора для функции называется многочлен -ной степени вида:

Например, . Рассмотрим а =0. Тогда .

.

, где - остаточный член.

Таким образом, , где - остаточный член формулы Тейлора.

Очевидно, если , то .

Отметим, что

Учитывая, что , получим:

, поэтому .

Будем искать остаток в виде: . Найдем множитель , для этого выясним, что из себя представляет отношение:

Таким образом, , где .

- остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Итак,

Если положить в формуле Тейлора а =0, то получим формулу Маклорена:

Частные случаи формулы Тейлора

, где , а

 

 

3) Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

а).

 

б).

 

в).

 

 

г).

 

 

Лекция № 32.

Тема: «Возрастание и убывание функции. Точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции».

Т. (достаточное условие возрастания и убывания функции): Если функция во всех точках промежутка имеет положительную (отрицательную) производную, то она на этом промежутке возрастает (убывает).

Док-во:

1)

Нужно доказать, что возрастает на промежутке . Возьмем любые элементы и пусть . Рассмотрим функцию на отрезке , применим теорему Лагранжа:

Итак, взяли , показали, что - возрастает на промежутке X.

2) При на промежутке X теорема доказывается аналогично.

ч.т.д.

Замечание: Иногда бывает, что в случае строгого возрастания функ­ции. Это возможно тогда, когда в точках, не заполняющих сплошь некоторый промежуток.

Например, . .

в точке - одна точка.

Пример: Найти промежутки возрастания и убывания функции .

1) Найти :

2) Исследовать знак производной:

Ответ: возрастает, если и убывает, если

 

Экстремумы

Опр. Точка называется точкой максимума непрерывной функции , если существует такая окрестность точки , принадлежащая , в которой наибольшее значение данной функции достигается в точке , т.е. , для из окрестности точки .

Опр. Точка называется точкой минимума непрерывной функции , если существует такая окрестность точки , принадлежащая , в которой наименьшее значение данной функции достигается в точке , т.е. , для из окрестности точки .

Т. (необходимое условие экстремума): Если функция имеет в точке экстремум, то производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Док-во:

Чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, достаточно применить теорему Ферма к той окрестности, о которой говорится в определении экстремума.

ч.т.д.

Замечание: Обратное утверждение неверно, например, . при , но в точке 0 экстремума нет.

Опр. Точки, в которых производная равна нулю либо не существует, называются критическими.

Опр. Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными.

Из необходимого условия экстремума следует, что подозрительными на экстремум являются критические точки.

Т. (первое достаточное условие экстремума): Если производная функции, непрерывной в точке при переходе через эту точку меняет знак, то является точкой максимума при смене “+” на “-“ и точкой минимума при смене “–“ на “+”.

(Без док-ва)

Т. (второе достаточное условие экстремума):

ТОЛЬКО ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК!

Пусть точка является стационарной для дважды дифференцируемой в окрестности этой точки функции, причем . Тогда - является точкой экстремума: точкой максимума, если , и точкой минимума, если .

(Без док-ва)

 

Пример: Исследовать на экстремум функцию

Решение: