Аналітичне задання афінного перетворення. Група афінних перетворень

Нехай – дане афінне перетворення. Виберемо на площині афінний репер R і точку М з координатами х і у у цьому репері. Тоді, згідно теореми 5, репер R перейде при перетворенні в репер , а точка М в точку з такими ж координатами х і у в . Позначимо і координати точки в репері R. Потрібно виразити і через х і у. Таким чином, задача зводиться до звичайної задачі перетворення афінних систем координат (див. § 15[12]): точка в старому репері має координати , , а в новому х, у, виразити , через х, у. Такі формули мають вигляд:

(8)

Визначник – якщо афінне перетворення першого роду, – афінне перетворення другого роду.

Зупинимося тепер на групі афінних перетворень та її підгрупах.

Позначимо через А множину всіх афінних перетворень площини. Покажемо, що А – група.

Розглянемо два афінних перетворення і .

Тоді, за означення афінного перетворення, будь-які три точки А, В і С прямої перейдуть при перетворенні в точки причому просте відношення

При перетворенні точки і перейдуть в точки і () = ().

Таким чином послідовне виконання двох афінних перетворень і відобразить точки А, В і С в точки і = (АВ,С), тобто композиція двох афінних перетворень є афінним перетворенням. Замкненість доведено. Покажемо, що якщо , то і .(існування оберненого) Дійсно, якщо точки належать одній прямій, то за означенням і їх образи також належать одній прямій і Отже, множина всіх афінних перетворень площини утворює групу.

Вона називається групою афінних перетворень площини.

Група подібності площини і група всіх рухів площини є підгрупами групи А. Очевидно, що і всі їх підгрупи є також підгрупами групи А. Неважко перевірити, що існують і інші підгрупи групи А. Наприклад, множина всіх афінних перетворень першого роду; множина всіх афінних перетворень для яких – нерухома точка (група центрально-афінних перетворень); множина всіх афінних перетворень, для яких пряма а складається з нерухомих точок.

 

ЗАДАЧІ

1. Записати аналітичне задання паралельного перенесення на вектор =(-3,5). Знайти образ при такому паралельному перенесенні: а) точки М(2,3), б) прямої 4х–у+7=0, в) прямої 5х+3у–11=0.

2. Знайти образ вісі ОХ при паралельному перенесенні на вектор =(4,7).

3. Знайти рівняння кола (x-2)²+(y+1)²=4 після паралельного перенесення на вектор =(5,-1).

4. Записати аналітичне задання повороту навколо початку системи координат на кут . Знайти образ точки М(2,-3) при цьому повороті.

5. Знайти образ прямої х+2у+3=0 при повороті її навколо точки О(0,0) на кут .

6. Отримати аналітичне задання центральної симетрії з центром в точці А(x₀,y₀).

7. Знайти образи точок М(1.3) і N(-5,2) при симетрії відносно точки А(4,5).

8. Знайти образ прямої х+5у–4=0 при симетрії відносно точки А(2,-3).

9. Отримати аналітичне задання повороту на кут навколо точки А(x₀,y₀). Знайти образ точки М(5,0) після повороту навколо точки А(-1,3) на кут .

10. Знайти образ прямої 2х+3у-4=0 при осьовій симетрії відносно осі ОХ.

11. Знайти образ прямої 3х-5у+2=0 при гомотетії з центром в точці О(0,0) і коефіцієнтом m =5.

12. Отримати аналітичне задання гомотетії з центром в точці А(x₀,y₀) і коефіцієнтом k.

13. Записати аналітичне задання гомотетії з центром в точці А(4,1) і коефіцієнтом k=2. Знайти образ точки М(-1,5) при цій гомотетії.

14. Записати аналітичне задання центрально-подібного повороту з центром в точці О(0,0) на кут і коефіцієнтом k=2. Знайти образи точок М() і N(0,-2) при цьому перетворенні.

15. Отримати аналітичне задання центрально-подібного повороту з центром в точці А(x₀,y₀). на кут з коефіцієнтом k.

16. Аналітичне задання афінного перетворення має вигляд: .

Знайти: а) образи точок: O(0,0), A(-1,2), B(3,-7),

b) образи векторів: =(-3,.2), =(-1,0), =(5,3).

с) прообрази точок: .

d) прообрази векторів:

17. Афінне перетворення задано формулами:

Знайти: 1) образи прямих: а) вісі ОХ, б) вісі ОУ, в) 7х-7у+2=0.

2) прообрази прямих: а) вісі ОХ, б) вісі ОУ, в) 3х-2у-2=0.

18. Записати аналітичне задання афінного перетворення, яке три точки А(1,0), В(-2,1), С(-1,1) переводить відповідно в точки:

а)

б)

19. Записати аналітичне задання афінного перетворення, яке початок системи координат переводить в точку , а всі точки прямої 3х+4у+1=0 залишає нерухомими.

20. Вияснити, які з перетворень є: 1) рухами; 2) подібністю, якщо вони задані наступними співвідношеннями:

а) 2х, 2у;

б) 3х, у;

в) ;

г) 3х+4у, 5х-6у;

д) х, у;

е) 8х-у+1, х+8у.

21. Вияснити характер перетворення, якщо воно має аналітичне задання:

1) -х+1, -у;

2) ;

3) -х-6, у;

4) х+3, -у;

5) -5у, 5х;

6) 3х, 5у;

7) ;

8) 2х, -2у;

9) -3у-7, 3х+1.

22. Довести, що множина А(а) всіх афінних перетворень, для яких пряма а складається з нерухомих точок утворює групу.

Розділ 2

Квадратичні форми

 

Поняття квадратичної форми

 

Відомо, що рівняння першої степені від двох змінних: Ax+By+C=0 визначає пряму лінію на площині, рівняння Ax+By+Cz+D=0 визначає площину у тривимірному векторному просторі. Аналогічно, в n –вимірному векторному просторі рівняння першої степені від n змінних визначає так-звану гіперплощину. Зустрічалися нам і рівняння кола та сфери, які є рівняннями другої степені. На площині нам відомі і інші лінії: гіпербола, парабола, еліпс. В просторі поверхні: циліндричні, канонічні і т. д. Зрозуміло що деякі криві і поверхні можуть мати рівняння і вище другої степені, але основні лінії: еліпс, парабола, гіпербола, та поверхні: сфера, еліпсоїд, параболоїди, гіперболоїди задаються якраз рівняннями другої степені. Відмітимо, що еліпс, парабола та гіпербола вивчалися ще стародавніми греками. Аполлоній описав їх основні властивості ще в третьому столітті до нашої ери. Ці криві часто використовуються в фізиці, астрономії, архітектурі.

Лінією (кривою) другого порядку на площині будемо називати лінію, яка визначається рівнянням другої степені.

Загальне рівняння другої степені від двох змінних має вигляд:

a₁₁x²+a₂₂y²+2a₁₂xy+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃=0, (7)

де а₁₁, а₂₂, а₁₂ не рівні нулю одночасно.

Поверхнею другого порядку будемо називати поверхню, яка визначається рівнянням другої степені.

Очевидно, що таке рівняння, в загальному випадку, має вигляд:

a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz+

+2a₁₄x+2a₂₄y+2a₃₄z+a₄₄=0, (8)

де коефіцієнти а₁₁, а₂₂, а₃₃, а₁₂, а₁₃, а₂₃ не рівні нулю одночасно.

Відмітимо, що при переході від однієї системи координат до іншої рівняння 2-го порядку перейде в рівняння 2-го порядку.

Однією з основних задач аналітичної геометрії є зведення рівнянь (7) та (8) до канонічного вигляду:

Ax¢ ²+By¢ ²=Q або Ax ¢ ²+By¢ ²+Cz¢ ²= Q, де Q – многочлен не вище першої степені.

По аналогії з трьохвимірним векторним простором (див. § 17 [12]), можна отримати формули перетворення афінних систем координат в n– вимірному векторному просторі:

 

x₁=c₁₁y₁+c₁₂y₂+…+c_1ny_n+c₁,

x₂=c₂₁y₁+c₂₂y₂+…+c_2ny_n+c₂,

… … … … … … … … … …

x_n=c_n1y₁+c_n2y₂+…+c_nny_n+c_n,

де нові базисні вектори і новий початок координат мають координати: = (c₁₁, c₂₁,..., c_n1), …, = (c_1n, c_2n,..., c_nn ), в старому базисі.

Квадратичною формою від n –змінних x₁, x₂, …, x_n називається однорідна функція другої степені від цих змінних, тобто функція вигляду:

F (x)= ,де (a_ij=a_ji) (9)

Ясно, що в рівнянні (7) квадратична форма F(x)=a₁₁x²+a₂₂y²+2a₁₂xy, а в рівнянні (8)

F(x)=a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz.

Квадратична форма називається канонічною, якщо вона має вигляд: (10)

§ 13. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду в n -вимірному векторному просторі

Теорема 6.

У n-вимірномувекторному просторі завжди існує такий базис в якому квадратична форма (9) маєканонічний вигляд (10).

Доведення:

Розглянемо квадратичну форму (9): F(x)=

Покажемо, що за допомогою заміни базису ця квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду.

Скористаємося методом математичної індукції:

1. Нехай n=1 тоді F(x)=a₁₁x отже, квадратична форма в канонічному вигляді.

2. Нехай n >1. Будемо вважати твердження теореми вірним для квадратичної форми від меншого ніж n числа змінних.

Розглянемо два випадки:

a). Серед коефіцієнтів a_ii (i=1,…,n) квадратичної форми (9) є відмінні від нуля. Нехай, наприклад, а₁₁¹ 0, тоді згрупуємо всі члени, які містять x₁ і запишемо:

(a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n)²=a₁₁x₁²+2a₁₂x₁x₂+…+2a_1nx₁x_n+A=

= a₁₁x₁²+ + A, де А – многочлен, який не містить x₁.

Таким чином квадратичну форму F(x) можна записати так:

F(x)= (a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n)²+G(x₂,x₃,…,x_n).

Позначимо:

y₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n, x₁= y₁ – y₂ –…– y_n ,

y₂=x₂, _Þ x₂=y₂, (11)

………….. ……………

y_n=x_n. x_n=y_n.

Після заміни базису за останніми формулами перетворення афінних систем координат, отримаємо квадратичну форму:

F(y)= y₁²+G(y₂,y₃,…,y_n), де G(y₂,y₃,…,y_n) квадратична форма

від n-1 змінної, яка за припущенням індукції приводиться до

канонічного вигляду.

б). Всі коефіцієнти квадратичної форми a₁₁=a₂₂=…=a_nn=0. Тоді існують коефіцієнти a_ij ¹ 0. В такому випадку потрібно так замінити базис, щоб появилися квадрати змінних. Нехай для конкретності а₁₂¹ 0. Тоді квадратична форма F(x)=2a₁₂x₁x₂+…. Використаємо формули перетворення афінних систем координат:

x₁=y₁ + y₂,

x₂=y₁ – y₂,

x₃=y₃, (12)

.........

x_n=y_n.

Після заміни базису, отримаємо:

F(y)=2a₁₂(y₁² – y₂²)+…. Отже, в квадратичній формі появилися квадрати змінних і маємо перший випадок.

 

Приклад 1. Привести квадратичну форму до канонічного вигляду і знайти базис у якому вона має такий вигляд:

а) .

Розв’язання. Оскільки квадрати змінних в даній квадратичній формі відсутні, то маємо випадок б) теореми 6. Скористаємося формулами (12):

(*)

Отримаємо

Згрупуємо всі додатки, які містять (за теоремою 6, випадок а) отримаємо):

.

Згідно формул (11) в цьому випадку отримаємо формули переходу до нової системи координат:

(**)

В новій системі координат квадратична форма має канонічний вигляд:

.

Так як базис замінювався двічі, то загальні формули перетворення отримаємо, підставивши рівності (**) в (*).

Одержимо:

Таким чином квадратична форма матиме канонічний вигляд в базисі: , ,

b) .

Розв’язання. Згрупуємо всі доданки, які містять (за теоремою 6 випадок а):

Після заміни базису отримаємо:

.

Формули відповідного перетворення систем координат матимуть вигляд:

Згрупувавши доданки, які містять (аналогічно до попереднього), отримаємо:

Після заміни базису за формулами:

отримаємо квадратичну форму в канонічному вигляді:

Загальні формули перетворення афінних систем координат, які зводять квадратичну форму до канонічного вигляду матимуть вигляд:

.

Базисні вектори нової системи координат: , .