Гомотетія як приклад перетворення подібності. Властивості гомотетії

 

Перетворення площини називається перетворенням подібності (подібністю), якщо існує число таке, що для будь-яких точок А і В і їх образів і виконується умова

.

Якщо , то отримаємо рух площини.

Тобто рух – це частковий випадок перетворення подібності.

Розглянемо приклад перетворення подібності, відмінного від руху.

Зафіксуємо точку і число .

Кожній точці М площини поставимо у відповідність точку таку, щоб виконувалась рівність: (2) (рис.5).

Таке перетворення площини називається гомотетією з центром в точці і коефіцієнтом m.

Покажемо, що гомотетія є перетворенням подібності.

Розглянемо ще одну точку N площини та її образ – точку (рис.5). Тоді . Отже,

(3)

Таким чином гомотетія є перетворенням подібності з коефіцієнтом k= .

· якщо , то маємо тотожне перетворення,

· якщо , то це перетворення – центральна симетрія відносно точки ,

· якщо , то гомотетія відмінна від руху.

Задамо на площині систему координат , і розглянемо точку М та її образ точку при гомотетії з центром в точці О(0,0) (рис.6). Одержимо аналітичне задання такої гомотетії.

Нехай точка М має координати x, y, а точка має координати Тоді за означенням гомотетії . Перейшовши до координат, отримаємо:

(4)

Розглянемо властивості гомотетії.

1. Гомотетія з коефіцієнтом переводить пряму, яка не проходить через центр гомотетії в паралельну їй пряму, а пряму яка проходить через центр гомотетії –в себе.

Доведення.

Нехай пряма l в деякій системі координат має рівняння: . Для знаходження рівняння її образа використаємо формули (4). З них отримаємо: і підставивши в рівняння прямої l одержимо рівняння . Отже, – пряма паралельна до прямої l, якщо С≠0, тобто якщо пряма не проходить через початок системи координат і , якщо С=0 (пряма l проходить через початок координат).

2. Гомотетія зберігає просте відношення трьох точок.

Доведення.

Нехай при гомотетії точки .

Розглянемо їх прості відношення

і , або

.

Але, згідно рівності (3) . Отже,

, або Таким чином

3. Гомотетія переводить відрізок у відрізок, промінь у промінь, півплощину в півплощину.

Доведення випливає з перших двох властивостей.

4. Гомотетія переводить кут у рівний йому кут.

Доведення.

Нехай АВС даний кут, а А'В'С ' – його образ. За формулою (3) отримаємо: .

5. Гомотетія зберігає орієнтацію площини.

Доведення. Розглянемо репер R=(B,A,C) і його образ при гомотетії = Так як , а , то R і однаково орієнтовані, тобто гомотетія зберігає орієнтацію площини.

Отже, гомотетія має такі ж властивості як і рухи першого роду.

Аналітичне задання подібності.

Властивості подібності

Покажемо, що послідовне виконання двох перетворень подібності (їх композиція) є перетворенням подібності. Розглянемо два перетворення подібності f з коефіцієнтом подібності k₁ і g з коефіцієнтом k₂ та довільні дві точки А і В площини. Тоді:

. За означенням подібності Отже, .

Таким чином композиція двох перетворень подібності з коефіцієнтами k₁ і k₂ буде перетворенням подібності з коефіцієнтом

Теорема 3. Якщо f – перетворення подібності з коефіцієнтом , а h – гомотетія з цим же коефіцієнтом і з центром в точці , то існує єдиний рух , такий що . (5)

Доведення.

Покажемо, що такий рух існує. Розглянемо перетворення (6)
Тоді g – це перетворення подібності з коефіцієнтом , тобто є рухом. Помножимо обидві частини рівності (6) на h справа:

. Отже, і існування руху g доведено.

Покажемо, що такий рух єдиний.

Припустимо, що існує ще один рух , такий, що . Помножимо обидві частини цієї рівності на :

або

Отже, ми довели, що перетворення подібності – це композиція гомотетії і руху.

Так як гомотетія має такі ж властивості як і рух, то з урахуванням теореми і подібність має властивості:

1. Подібність переводить пряму в пряму, паралельні прямі в паралельні прямі.

2. Подібність зберігає просте відношення трьох точок.

3. При перетворенні подібності кут переходить в рівний йому кут.

4. При подібності півплощина переходить у півплощину.

5. Подібність змінює орієнтацію площини, якщо рух змінює орієнтацію площини (рух невласний) і не змінює в противному (якщо рух власний). В першому випадку перетворення подібності називається невласним (перетворенням подібності 2-го роду), в другому – власним (перетворенням подібності 1-го роду).

Нехай перетворення подібності з коефіцієнтом k. Задамо на площині деяку систему координат і отримаємо в ній

аналітичне задання подібності .

Скористаємося теоремою 3. Розглянемо гомотетію h з центром в точці О і коефіцієнтом k. Її аналітичне задання

Нехай g – рух, який задовольняє рівність (5). Аналітичне задання руху

Отже, якщо точка М(x,y) при перетворенні подібності перейде в точку , то аналітичне задання подібності матиме вигляд:

(7)

Теорема 4. Будь-яке перетворення подібності, відмінне від руху, має тільки одну нерухому точку.

Доведення.

Нехай перетворення подібності має аналітичне задання (7). Точка М(х,у) буде нерухомою точкою цього перетворення тільки тоді, коли

Розглянемо визначник C цієї системи:

Якщо ε=1, то а якщо ε= -1, то

C=1–k². Отже, при Таким чином система має єдиний розв’язок – єдину нерухому точку перетворення.

Наслідок. Перетворення подібності, яке не має нерухомих точок, або має більше ніж одну нерухому точку є рухом.