Аксонометрическая ортографическая проекция

Смещает изображение по оси z на n единиц и проецирование происходит в плоскости z = 0:

Аксонометрическая ортогональнальная проекция

 

Проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости изображения, и плоскость проекции совпадает с одной из координатных плоскостей.

Пример: выполним поворот куба ( рис. 3.2, слева ) относительно оси x на угол 90^o и спроецируем его на плоскость z = 0 ( рис. 3.2, справа). Обратите внимание, что точки, которые после поворота на куба на 90^o будут лежать на проецирующих лучах (пары A и C, B и D и т. д.), после преобразования займут одинаковое положение (пары A^н и C^н, B^н и D^н и т. д.):

Запись в матричной форме:

Аксонометрическая диметрическая проекция

 

В этом случае были специально подобраны коэффициенты, дающие минимальные искажения какого-либо изображения:

Аксонометрическая изометрическая проекция

 

В общем смысле дает проекцию с изменением масштаба:

Любая проекция имеет свои достоинства и недостатки (искажение размеров изображения по одной из осей, неодинаковость сокращения размеров по разным осям, заслонения точек друг другом), поэтому каждая из них используется там, где это более удобно: ортографическая - только для переноса и проецирования, ортогональная - для вращения и проецирования; при диметрической проекции изображение по оси y имеет натуральный размер, а по осям x и z оно одинаково сокращено (то есть на экране размер линии по x и по y уменьшен в А раз по отношению к натуральному размеру на объекте); при изометрической проекции изображение по трем осям одинаково сокращено.

Перспективное проецирование

 

На фотографиях, картинах, экране изображения кажутся нам естественными и правильными. Эти изображения называют перспективными. Свойства их таковы, что более удаленные предметы изображаются в меньших масштабах, параллельные прямые в общем случае непараллельны. В итоге геометрия изображения оказывается достаточно сложной, и по готовому изображению сложно определить размер тех или иных частей объекта.

Обычная перспективная проекция - это центральная проекция на плоскость прямыми лучами, проходящими через точку - центр проецирования. Один из проецирующих лучей перпендикулярен к плоскости проецирования и называется главным. Точка пересечения этого луча и плоскости проекции - главная точка картины.

Существует три системы координат. Обычно программист работает и держит данные о геометрических объектах в мировых координатах. Для повышения реалистичности при подготовке к выводу изображения на экран данные об объектах из мировых координат переводят в видовые координаты. И только в момент вывода изображения непосредственно на экран дисплея переходят к экранным координатам, которые представляют собой номера пикселов экрана.

Первые две системы могут использоваться в многомерных системах координат, но последняя только в двухмерной. Операции являются необратимыми, то есть из двухмерной картинки-проекции невозможно восстановить трехмерное изображение.

 

Матрица общего перспективного преобразования

 

В этой матрице элементы a, d, е отвечают за масштабирование, m, n, L - за смещение, p, q, r - за проецирование, s - за комплексное масштабирование, х - за вращение.

 

Одноточечное проецирование на плоскость z = 0

 

Суть этого проецирования такова: чем глубже находится предмет, тем больше становится значение z-координаты и знаменателя z + 1, и, следовательно, тем мельче выглядит предмет на плоскости проекции. Выполним несложные выкладки и поясним их графически: уравнение x'/F = x/(F + z_пр) равносильно: x' = xF/(F + z_пр) = x/(1 + z_пр/F) = x/(1 + rz_пр), где r = 1/F, F - фокус.

 

 

Для того, чтобы точки, лежащие на линии, параллельной оси z, не терялись друг за другом, используется одноточечное проецирование на линию (см. матрицу преобразования и рис. 4.2); исчезла z-координата, но поскольку дальние предметы стали более мелкими, чем близкие такие же, то при рассмотрении рисунка у зрителя появляется ощущение глубины.

 

 

А теперь для примера отобразим куб, стороны которого равны единице (см. рис. 4.3), на плоскость z = 0; пусть на оси z фокус F = -10 и, следовательно, r = -1/10 = -0.1:

 

 

В плоскости экрана после преобразования мы будем иметь следующее изображение:

 

 

Обратите внимание, что если бы исходный куб стоял центром тяжести (который находится на пересечении диагоналей куба) в точке (0, 0, 0), то он получился бы более "традиционного" вида:

Двухточечное проецирование

 

Если проекция двухточечная (например, по p <> 0 и q <> 0), то имеется две точки схода на соответствующие оси. Так как по z в данном случае реализуется параллельное проецирование, то удвоения контура куба на экране (x, y) нет. Меняя p и q, мы регулируем точку схода: