Основы автоматического управления

Шендалева Е.В.

 

 

Основы автоматического

Управления

Конспект лекций

 

 

2010

 

Федеральное агентство по образованию

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

Шендалева Е.В.

ОСНОВЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

 

Конспект лекций

Омск

Издательство ОмГТУ

2010

УДК 681.5

ББК 32.965я73

Ш 472

 

 

Рецензенты:

Жильцов В.В., к.т.н., доцент, чл.-кор. РИА, чл.-кор АТН РФ, заслуженный изобретатель России, профессор СибАДИ

Калачевский Б.А., д.т.н., профессор СибАДИ

 

 

Автор:

Шендалева Елена Владимировна, канд. техн. наук

 

Конспект лекций предназначен для студентов специальности 200503 «Стандартизация и сертификация» заочного и дополнительного обучения, изучающих дисциплину «Основы автоматического управления». В конспекте лекций представлены основы теории управления линейных систем. Конспект лекций может быть использован для самостоятельной проработки лекций.

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета.

 

 

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБЪЕКТОВ И САУ

Исторические сведения

Первые сведения об автоматах появились в начале нашей эры в работах Герона Александрийского «Пневматика» и «Механика», где описаны автоматы, созданные Героном и его учителем Ктесибием: автомат для открытия дверей храма, водяной орган, автомат для продажи святой воды.

В средние века значительное развитие получила «андроидная» автоматика, когда автоматы подражали действиям человека и выглядели как человек. В XIII веке немецкий философ-схоласт и алхимик А. фон Больштадт построил робота для открывания и закрывания дверей.

В XVIII веке П. Дро создал механического писца и механического художника. Театр автоматов был создан в XVIII веке И. Кулибиным.

В XIX веке начался этап развития промышленной автоматики. Появились первые автоматические устройства, к которым относятся регулятор И. Ползунова (1765), регулятор паровой машины Дж. Уатта (1784), система программного управления ткацким станком Л. Жаккара (1808).

В 1854 году К. Константинов разработал электромагнитный регулятор скорости вращения для паровых машин, А. Шпаковский в 1866 году разработал регулятор, изменяющий подачу топлива в топку в зависимости от давления пара в котле. В 1879 году Й. Возняковский и К. Воронин осуществили прерывистое регулирование питания котла водой.

Общая теория регуляторов была разработана в 1868 – 1876 годах в работах Д. Максвелла и В. Вышнеградского, вопросы устойчивости систем регулирования исследовал А. Стодола и А. Гурвиц.

В конце XIX – начале XX столетия создаются новые виды регулирующих приборов. В 1877 году А. Давыдов разработал следящую систему для автоматического управления артиллерийским оружием. Первый программный регулятор разработал Н. Захаров в 1882 году.

Большое значение для развития теории регулирования имели исследования А. Ляпунова, который опубликовал в 1892 году труд «Общая задача устойчивости движения».

Крупный вклад в теорию внес Н. Жуковский, создавший теорию орбитальной устойчивости на основе вариационных принципов динамики, им написан первый учебник «Теория регулирования хода машин» (1909).

Большой вклад в развитие теории управления внесли советские ученые И. Вознесенский, С. Лебедев, П. Яданов, А. Лурье, А. Летов, В. Постников, М. Айзерман, А. Андронов, Я. Цыпкин, Н. Крылов и Н. Боголюбов.

В тридцатые годы XX века появляются работы X. Найквиста, А. Михайлова, Г. Боде, Г. Брауна, А. Холла, В. Солодовникова, В. Попова.

В послевоенные годы в трудах Г. Щипанова, В. Кулебакина, Б. Петрова была разработана теория инвариантности; В. Казакевичем. А. Фельдбаумом, А. Красовским разработаны принципы экстремального управления. В эти же годы Л. Понтрягин, А. Летов, Н. Красовский создают основы теории оптимального управления.

В настоящее время теория автоматического управления переросла рамки технических систем. Динамические управляемые процессы существуют в живых организмах, экономических и организационных системах.

Дальнейшее развитие автоматизации и усложнение систем привело к созданию автоматизированных систем управления (АСУ) технологическими процессами (АСУТП), производством (АСУП).

Основные понятия и определения

Задача автоматизации состоит в осуществлении автоматического управления различными техническими процессами.

Технологический процесс можно расчленить на более простые, связанные между собой процессы и выделить, таким образом, рабочие операции, результатом которых является преобразование материала, энергии, информации, и операции управления, обеспечивающие задание режимов.

Рабочие операции сопряжены с затратами энергии и если их выполняет человек, то затрачивается его физическая сила. Замена труда человека в рабочих операциях работой машин называется механизацией.

Совокупность операций управления образует процесс управления. Под управлением понимают такую организацию того или иного процесса, которая обеспечивает достижение определенной цели. На операции управления затрачивается интеллектуальный труд человека.

Замена труда человека в операциях управления действиями технических управляющих устройств называется автоматизацией. Техническое устройство, выполняющее операции управления без непосредственного участия человека, называется автоматическим устройством.

Совокупность технических средств, выполняющих данный процесс, является объектом управления. Совокупность средств управления и объекта образует систему управления. Система, в которой все рабочие операции и операции управления выполняют автоматические устройства, называется автоматической. Система, в которой автоматизирована только часть операций, называется автоматизированной.

Частным случаем управления является регулирование. При регулировании координаты процесса (давление, температура, расход, положение) поддерживаются на заданном значении с помощью специальных устройств – автоматических регуляторов. Совокупность автоматического регулятора и регулируемого объекта образует систему автоматического регулирования. Объекты управления и регулирования по своей физической природе разнообразны, но принципы построения систем управления и регулирования неизменны для всех объектов.

Для изображения системы автоматического управления (регулирования) используют структурные схемы, в которых элементы системы изображают в виде прямоугольников, а связи между элементами – стрелками, показывающими направление передачи сигнала (рис. 1.1а, б).

Рис. 1.1. Примеры изображения объектов с входными и выходными сигналами:

а) один элемент системы; б)несколько элементов системы;

в) односвязный, характеризуется наличием векторов с одной координатой;

г) многосвязный, характеризуется несколькими взаимосвязанными координатами

Любой элемент системы (рис. 1.1в, г) характеризуется входной координатой (сигналом) и выходной координатой y (t), которая зависит от входного сигнала. Входная координата может быть управляющей (регулирующей) – x (t) и возмущающей – f (t). Возмущающее воздействие f (t)вызывает отклонение управляемой (регулируемой) координаты от заданного значения. Управляющее (регулирующее) воздействие x (t) служит для поддержания регулируемой координаты y (t) или задания управляемой координаты в соответствии с некоторым законом управления.

 

ПРИНЦИПЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ

 

Первый промышленный регулятор был изобретен в 1765 году Ползуновым для созданной им паровой машины (рис. 2.1). Задачей этого регулятора являлось поддержание в паровом котле постоянного уровня воды. Регулятор представлял собой поплавок 1,связанный системой рычагов с регулирующей заслонкой 2.При увеличении уровня поплавок поднимается, в результате чего заслонка опускается, перекрывая трубопровод и уменьшая подачу воды в котел. При уменьшении уровня поплавок опускается, подача воды увеличивается, уровень повышается.

В 1784 году Дж. Уатт сконструировал центробежный регулятор числа оборотов вала паровой машины (рис. 2.2). При изменении числа оборотов вала грузы 1под действием центробежной силы изменяют свое положение, что приводит к перемещению регулирующего органа 2и изменению подачи пара. Это вызывает изменение числа оборотов вала.

   

Рис. 2.1. Регулятор Ползунова                               Рис. 2.2. Регулятор Уатта

Сравнительный анализ рассмотренных регуляторов показывает, что оба они построены по единому принципу (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Структурные схемы систем регулирования: а) Ползунова; б) Уатта

Основными элементами систем автоматического регулирования являются: объект – паровой котел и паровая машина; регулирующее устройство – поплавок и центробежная муфта с регулирующими заслонками, соответственно, в регуляторах Ползунова и Уатта.

Выходные координаты (регулируемые переменные) – уровень Н и число оборотов n; регулирующие переменные – подача воды в паровой котел – G _В и расход пара в паровую машину – G _П, возмущающие воздействия – давление пара в котле, расход топлива, его теплотворная способность в первом случае и во втором – нагрузка на валу паровой машины, давление пара в трубопроводе.

Принцип регулирования этих регуляторов состоит в том, что они изменяют регулирующее воздействие при отклонении регулируемой переменной от заданного значения независимо от причин, вызвавших это отклонение. В систему вводится обратная связь, по которой передается сигнал с выхода объекта на его вход. Объект и регулятор образуют замкнутую систему автоматического регулирования (САР). Если сигнал обратной связи складывается с основным сигналом, то связь называется положительной, если вычитается – отрицательной. В автоматических системах управления обратная связь всегда отрицательна.

Рассмотренные схемы с обратной связью осуществляют управление по отклонению (рис. 2.4) выходной координаты y (t) от заданного значения y _ЗАД; Δ y = y (t) – y _ЗАД  называют ошибкой регулирования.

Системой автоматического регулирования по отклонению называют систему, в которой измеряется отклонение регулируемой величины от заданного значения и в зависимости от измеренного отклонения подается такое воздействие на регулирующий орган, которое уменьшает величину отклонения так, что Δ y → 0 при t → ∞.

Кроме регулирования по отклонению возможно регулирование по возмущению. В этом случае регулирующее воздействие вырабатывается регулятором в зависимости от величины возмущения. Системы регулирования по возмущению являются разомкнутыми системами (рис. 2.5). Компенсация достигается только по измеряемым возмущениям.

При регулировании по отклонению трудно выполнить одновременно условия точности и быстродействия. Наиболее эффективными системами регулирования являются комбинированные САP, сочетающие оба рассматриваемых принципа.

В этих системах наиболее сильные возмущения компенсируются регулятором по возмущению, а контур регулирования с обратной связью обеспечивает точность регулирования.

             

Рис. 2.4. Управление по отклонению     Рис. 2.5. Управление по возмущению

Таким образом, в основе построения систем автоматического управления (регулирования) лежат фундаментальные принципы: принцип регулирования по отклонению и принцип регулирования по возмущению.

СИГНАЛЫ И СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ

Представление сигналов

Наибольшее распространение получило математическое представление сигналов, виды представлений сигналов делятся на три группы:

1) непрерывное представление – сигнал определен в любой момент времени (рис. 4.1а);

2) дискретно-непрерывное представление – сигнал является квантованным по времени и непрерывно изменяется только по уровню (рис. 4.1б);

3) дискретное представление – выходной сигнал квантован как по времени, так и по уровню (рис.4.1в).

Рис. 4.1 Виды математических представлений сигналов:

а)непрерывное; б)дискретно-непрерывное; в)дискретное

В результате квантования сигнала по времени при дискретно-непре-рывном и дискретном представлениях может произойти потеря информации. Для ее уменьшения необходимо выполнять теорему Котельникова.

Смысл теоремы Котельникова состоит в том, что, если требуется передавать сигнал, описываемый функцией f (t) с ограниченным спектром, то достаточно передавать отдельные мгновенные значения, отсчитанные через конечный промежуток времени , где F_C – ширина спектра. По этим значениям непрерывный сигнал может быть полностью восстановлен на выходе системы.

Виды сигналов

В теории автоматического управления используются сигналы:

1. Единичный скачок 1(t), называемый функцией Хевисайда (рис. 4.2).

                                                                     (4.1)

Функция Хевисайда физически нереализуема, возможно лишь определенное приближение к этой функции.

2. Единичная импульсная функция – дельта-функция d(t) (рис. 4.3), называемая функцией Дирака, – это функция, удовлетворяющая условиям:

1)  2)                           (4.2)

d(t) можно представить как импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды с площадью, равной единице (рис. 4.4).

       

           Рис. 4.2. 1(t)                      Рис. 4.3. d(t)          Рис. 4.4. Площадь d(t)

К основным свойствам δ-функции можно отнести следующие:

1) ;  2) δ(t) = δ(– t); 3) .           (4.3)

Между функцией Дирака и функцией Хевисайда существует связь:

d[ t ] = 1¢(t) или .                                           (4.4)

На практике считается, что на вход объекта подана δ-функция, если время действия прямоугольного импульса намного меньше времени переходного процесса.

3 Синусоидальный гармонический сигнал (рис. 4.5а)

x (t) = A ·sinw t                                         (4.5)

используют при исследовании систем автоматического регулирования частотными методами. Его можно представить как вращение вектора длиной А вокруг начала координат (рис. 4.5б) с угловой скоростью ω, рад/с.

Сигнал характеризуется амплитудой – А; периодом – Т; фазой – j.

Рис. 4.5. Гармонический сигнал: a - обычный сигнал;

б - представление гармонического сигнала вращением вектора;

в - гармонический сигнал со сдвигом фазы

Между периодом и угловой скоростью справедливы соотношения

; .                                     (4.6)

Если сигнал начинается не с момента времени t = 0, то он характеризуются фазой j (рис. 4.5б), которая во временной области соответствует отрезку ∆ t (рис. 4.5в).Перевод осуществляется по формуле

.                                             (4.7)

4. Сдвинутые элементарные функции

К этим функциям относятся функции Хевисайда и Дирака с запаздыванием 1(t – τ) и δ(t – τ) (рис. 4.6)

                      (4.8)

Рис. 4.6. Сдвинутые элементарные функции

К основным свойствам сдвинутых функций можно отнести:

1) ; 2) δ(t –t) = δ (t– t) = δ(–(t –t)); 3) . (4.9)

5. Сигнал произвольной формы (рис. 4.7а).

Сигнал произвольной формы представляют с помощью δ-функции (рис. 4.7б), для чего в момент времени t_i, строят столбик высотой x (t_i) и основанием D t_i. Этот импульс выражают через приближенную d-функцию  площадью, равной 1, шириной D t_i и высотой 1/D t_i. Тогда высота столбика . Заменяя функцию x (t) набором импульсов (рис. 4.7в),можно записать . Если n ® 0, D t_i ® t, , то

.                                            (4.10)

Рис. 4.7. Сигнал произвольной формы:

а) входной непрерывный сигнал; б) импульс x (i);

в) суперпозиция импульсов, определяющих сигнал x (t)

Сигнал произвольной формы можно представить через единичные функции, для чего выражение (4.10) следует проинтегрировать по частям, используя подстановку δ(t − τ) = 1¢(t − τ), тогда

.                           (4.11)

ДИНАМИКА СИСТЕМ

Уравнения движения

Математическое описание системы автоматического управления – это описание процессов, протекающих в системе. Построение системы управления начинают с изучения объекта управления и составления его математического описания. В качестве объекта может выступать аппарат, технологический процесс и предприятие. Различие математических моделей объектов связано с их назначением. Модели описывают режимы работы объекта или системы управления и могут быть получены способами: экспериментальным, аналитическим, комбинированным.

При экспериментальном способе уравнения моделей получают путем постановки экспериментов (активный эксперимент) или статистической обработки результатов регистрации переменных объекта в условиях его нормальной эксплуатации (пассивный эксперимент).

При аналитическом описании уравнения моделей получают на основании физико-химических закономерностей протекающих процессов.

При экспериментально-аналитическом подходе уравнения моделей получают аналитическим путем с последующим уточнением параметров этих уравнений экспериментальными методами.

При разработке математического описания систем автоматического управления учитывают методологические положения теории автоматического управления. Это системный подход к решению задач управления; применение методов теории автоматического управления к системам самой разнообразной физической природы; рассмотрение системы как цепи взаимодействующих элементов, передающих сигналы в одном направлении; составление математического описания с рядом упрощений.

Уравнения математической модели объекта или системы управления, устанавливающие взаимосвязь между входными и выходными переменными, называют уравнениями движения. Уравнения, описывающие поведение системы в установившемся режиме при постоянных воздействиях, называются уравнениями статики. Уравнения, описывающие поведение системы в неустановившемся режиме при произвольных входных воздействиях, называются уравнениями динамики.

Объекты регулирования можно разделить на два класса: объекты с сосредоточенными координатами, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, и объекты с распределенными координатами, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. В дальнейшем будут рассмотрены только объекты с сосредоточенными координатами.

Например, модель объекта, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка, с сосредоточенными координатами

F (y, y ', y ", x, x ') + f = 0,                                  (5.1)

где y – выходная переменная; x, f – входные переменные; y ', x ' – первые производные по времени; y " – вторая производная по времени.

При постоянных входных воздействиях x = x ₀; f = f ₀ с течением времени выходная величина принимает постоянное значение y =y ₀и уравнение (5.1) преобразуется как F (y ₀, 0, 0, x ₀, 0) + f ₀ = 0, являющемся статическим.

Статической характеристикой объекта называют зависимость выходной величины от входной в статическом режиме. Статическую характеристику можно построить экспериментально, если подавать на вход объекта постоянные воздействия и замерять выходную переменную после окончания переходного процесса. Статическая характеристика характеризуется коэффициентом k = ¶ y /¶ x. Для объектов с нелинейной статической характеристикой k является переменным (рис. 5.1а), для объектов с линейной статической характеристикой коэффициент постоянен (рис. 5.1б).

Переходная функция

Для получения переходной функции в качестве стандартного сигнала используют единичную функцию времени 1(t) (4.1).

Переходной функцией h (t) называют аналитическое выражение для решения уравнения (5.3) при x (t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

a_ny ⁽ⁿ⁾(t)+ a_{n −1} y ^{(n –1)}(t)+…+ a ₁ y ¢(t)+ a ₀ y (t)= b ₀×1(t); y (0)=0, y ¢(0)=0, …, y ^{(n -1)}(0)=0.

Кривой разгона называется реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Рис. 5.4 Переходная характеристика: а) ступенчатое воздействие; б) кривая разгона

На практике кривую разгона определяют экспериментально, используя данные для анализа и синтеза систем автоматического управления.

Весовая функция

Для получения весовой (импульсной переходной) функции в качестве стандартного сигнала используют δ-функция (4.2) (рис. 5.5).

Весовой функцией w (t) называют аналитическое выражение для решения уравнения (5.3) при x (t) = d (t) и нулевых начальных условиях

a_ny ⁽ⁿ⁾(t)+ a_{n −1} y ^{(n –1)}(t)+…+ a ₁ y ¢(t)+ a ₀ y (t)= b ₀×d(t); y (0)=0, y ¢(0)=0, …, y ^{(n -1)}(0)=0.

Рис. 5.5. Переходная характеристика: а) δ-функция; б) весовая функция

Считают, что на вход объекта подана δ-функция, если время действия импульса намного меньше времени переходного процесса, при этом переходный процесс нормируют путем деления его ординат на S.

Между переходной и весовой функциями существует соответствие

; w (t) = h ¢(t).

Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля используют для определения выхода объекта у (t) при произвольном входном сигнале x (t) и известных h (t) либо w (t). На вход объекта, описываемого функцией w (t), подают сигнал x (t) (4.10).

Если реакцию объекта на δ(t – t_i) обозначить через w (t – t_i)(весовая функция), а реакцию на  – через  (приближенная весовая функция), то выходной сигнал .

Рис. 5.6. Представление входного (а) и выходного сигналов (б)

Замена входного сигнала x (t) набором импульсов, высота которых совпадает с координатами x (t_i) (рис. 5.6а), позволяет записать реакцию на входное воздействие х (t) на основании принципа суперпозиции (рис. 5.6б)

.

Если D t_i ® 0, при этом t_i ® t; n ® ¥; ; D t_i ® d t; , где τ – параметр сдвига каждого импульса

.                                   (5.6)

Это уравнение называют интегралом Дюамеля (уравнением свертки). Весовая функция показывает, как влияет на объект импульсное возмущение, поданное на его вход в момент времени τ = 0.

Интеграл Дюамеля можно записать через переходную функцию

 или . (5.7)

Передаточная функция

Одной из основных характеристик объекта управления, используемой в теории автоматического управления, является передаточная функция, записываемая в терминах преобразования Лапласа.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у(s) к преобразованному по Лапласу входу х(s) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция определяется только внутренними свойствами системы, является функцией комплексного переменного и обозначается

.                                      (6.3)

Передаточная функция характеризует динамику объекта по каналу, связывающему конкретный вход и выход объекта (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Примеры различных объектов: а) с одним входом и одним выходом;

б) двумя входами и одним выходом; в) двумя входами и двумя выходами

Если объект имеет несколько входов и выходов, то он характеризуется несколькими передаточными функциями.

Передаточная функция характеризует динамику линейного объекта. Если задано дифференциальное уравнение, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из алгебраического уравнения найти отношение .

Дифференциальное уравнение объекта представляется в виде (5.3)

a_ny ⁽ⁿ⁾(t)+ a_{n −1} y ^{(n –1)}(t)+…+ a ₁ y ¢(t)+ a ₀ y (t)= b_mx ^(m)(t)+ b_{m −1} x ^{(m –1)}(t)+…+ b ₁ x ¢(t)+ b ₀ x (t).

где a_n, …, a ₀; b_m, …, b ₀ – постоянные коэффициенты.

После преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях

a_nsⁿy (s) +a_{n −1} s^{n –1} y (s) +...+a ₀ y (s)= b_ms^mx (s)+ b_{m −1} s^{m –1} x (s)+... +b ₀ x (s),

(a_nsⁿ+a_{n −1} s^{n –1} +...+a ₁ s+a ₀) y (s) =(b_ms^m+b_{m −1} s^{m –1} +...+b ₁ s+b ₀) x (s),     (6.4)

.               (6.5)

Если известна передаточная функция объекта, то изображение выхода объекта у (s)= W (s) x (s).

Передаточная функция является отношением полиномов

,

где B (s)= b_ms^m+b_{m −l S} ^{m –l} +...+b ₁ s+b ₀; A (s)= a_nsⁿ+a_{n −l S} ^{n –l} +…+a ₁ s+a ₀ y.

Для реальных физических объектов степень полинома В (s)всегда меньше или равна степени полинома A (s), то есть m ≤ n.

Для переходной функции входной сигнал x (t) = 1(t), , выходной сигнал y (t) = h (t), y (s) = h (s), и тогда передаточная функция равна

.                                     (6.6)

Из (6.6) может быть получено выражение для переходной функции

.                                          (6.7)

Если известно выражение для весовой функции, то входной сигнал x (t) = δ(t), x (s) = 1, выходной сигнал w (t) и передаточная функция

,                                        (6.8)

является преобразованием Лапласа от весовой функции.

Из (6.6) и (6.8) w (s) = s × h (s), то есть w (t) = h ¢(t).

Частотные характеристики

Частотные характеристики линейных систем характеризуют реакцию объекта на гармонический сигнал. Основной частотной характеристикой является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ). Рассмотрим преобразования Лапласа  и Фурье .

При сравнении преобразований видно, что формально преобразование Фурье может быть получено из преобразования Лапласа простой заменой s на i ω. Заменяя в уравнении (6.4) s на i ω, получим

(a_n (i w) ⁿ+a_{n −1}(i w) ^{n –1} +...+a ₁(i w) +a ₀) y (i w) =(b_m (i w) ^m+b_{m −1}(i w) ^{m –1} +...+b ₁(i w) +b ₀) x (i w),

,       (6.9)

.

Тогда амплитудно-частотная характеристика M (w) является четной функцией; фазочастотная характеристика j(w) – нечетной функцией; вещественная частотная характеристика Re(ω) – четной функцией; мнимая частотная характеристика Im(ω) – нечетной функцией (рис. 6.4 и 6.5).

Рис. 6.4 Свойство четности частотных характеристик: а) АЧХ; б) ВЧХ

Рис. 6.5 Свойство нечетности частотных характеристик: а) ФЧХ; б) МЧХ

Амплитудно-фазовая характеристика также может рассматриваться как изображение Фурье от весовой функции

.                                   (6.10)

Так как e ^{– i w t} = cosw t – i sinw t, то из (6.10) определим вещественную и мнимую характеристики  и, следовательно,

, .             (6.11)

Откуда следует, что Re(ω) = Re(−ω), Im(ω) = −Im(−ω).

При практических расчетах АФХ строят только для положительных частот. Используя формулу обратного преобразования Фурье, можно по АФХ получить весовую характеристику

.                              (6.12)

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

 

Типовые динамические звенья

Усилительное звено

Уравнение движения усилительного звена имеет вид

y (t) = kx (t),                                            (7.1)

где k – коэффициент усиления.

Передаточная функция усилительного звена

.                                   (7.2)

Частотные характеристики усилительного звена:

АФХ: W (i ω) = k;                                                                          (7.3)

АЧХ: M (ω) = k;                                                                            (7.4)

ФЧХ: j(ω) = 0.                                                                             ….(7.5)

Графики частотных характеристик представлены на рис. 7.1.

Частотные характеристики усилительного звена не зависят от частоты, причем ФЧХ тождественно равна нулю, то есть в гармонических колебаниях, поданных на вход, изменяется только амплитуда в k раз. АФХ является положительным действительным числом, ее график представляет собой точку на положительной ветви действительной оси.

Переходная функция h (t)=k×1(t),                                               (7.6)

весовая функция w (t) = k d(t).                                                        (7.7)

Графики характеристик изображены на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Графики характеристик усилительного звена:

а) частотные характеристики; б) переходная функция; в) весовая функция

Интегрирующее звено

Уравнение движения интегрирующего звена имеет вид

                (7.8)

где Т_и – постоянная времени звена.

Выходной сигнал интегрирующего звена равен интегралу по времени от входного сигнала, умноженному на коэффициент 1/ Т_и.

Передаточная функция интегрирующего звена:

.                                           (7.9)

АЧХ интегрирующего звена является гиперболической функцией частоты, ФЧХ не зависит от частоты и равна –p/2. АФХ является мнимой функцией частоты, и ее годограф для положительных частот совпадает с отрицательной ветвью мнимой оси.

Графики частотных характеристик изображены на рис. 7.2:

АФХ: ;                                            (7.10)

АЧХ: ;                                                                      (7.11)

ФЧХ: j(ω) = – p/2.                                                                      (7.12)

Рис. 7.2. Частотные характеристики интегрирующего звена: а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Переходные характеристики изображены на рис. 7.3:

переходная функция ;                                    (7.13)

весовая функция .                                           (7.14)

Рис. 7.3. Переходные характеристики интегрирующего звена:

а) переходная функция; б) весовая функция

Переходная функция интегрирующего звена не имеет установившегося конечного значения. Реакция на δ-функцию является ступенчатой функцией с амплитудой 1/ Т_и.

Форсирующее звено

Форсирующим звеном называется звено, описываемое уравнением

.                                           (7.29)

Передаточная функция

W (s) = k (1 + Ts).                                   (7.30)

Частотные характеристики форсирующего звена показаны на рис. 5.9:

АФХ: ;                      (7.31)

АЧХ: ;                                                          (7.32)

ФЧХ: j(w) = arctgw T.                                                                 ...(7.33)