Математический аппарат теории управления

 

Преобразование Лапласа

Основным математическим аппаратом, который используют в теории автоматического управления, является операционный метод, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.

Прямым преобразованием Лапласа называется преобразование функции x (t) переменной t в функцию х (s)другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением

,                    (3.1)

где x (t) – оригинал функции; x (s) – изображение по Лапласу функции x (t); s – комплексная переменная s = α + i ω.

Обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал, определяется соотношением

                                           (3.2)

где с – абсцисса сходимости функции x (s).

Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами.

Преобразование Лапласа обладает разнообразными свойствами.

1 Свойство линейности: для любых действительных или комплексных постоянных А и В линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация изображений

Ax ₁(t) + Bx ₂(t) ® Ax ₁(s) + Bx ₂(s),                           (3.3)

где x ₁(t) ® x ₁(s); x ₂(t) ® x ₂(s).

2. Свойство подобия: умножение аргумента оригинала на любое постоянное положительное число λ приводит к делению аргумента изображения x (s) на то же число λ:

                                      (3.4)

3. Свойство затухания: умножение оригинала на функцию e^at, где а — любое действительное или комплексное число, влечет за собой смещение независимой переменной s:

e ^atx (t) ® x (s – a).                                                    (3.5)

4. Свойство запаздывания: для любого постоянного τ > 0

x (t – t) ® e^{- st} x (s).                                                    (3.6)

5. Свойство дифференцирования по параметру: если при любом значении r оригиналу x (t, r) соответствует изображение х (s, r), то

.                                         (3.7)

6. Свойство дифференцирования оригинала: если x (t) ® x (s), то

x ¢(t) ® s x (s) – x (0),                                        (3.8)

т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на s его изображения и вычитанию х (0), если х (0) = 0, то x ¢(t) ® s x (t). Применяя преобразование необходимое количество раз, получают

x ^{( n )}(t) ® s ^{( n )} x (s) – s ^{( n -1)} x (0) – … – x (0).                (3.9)

Если x (0) = s x (0) = … = s ^{( n -1)} x (0), то

x ^{( n )}(t) ® s ^{( n )} x (s),                               (3.10)

т.е. при нулевых начальных значениях n -кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на sⁿ его изображения.

7. Свойство интегрирования оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на s:

.                                       (3.11)

8. Свойство дифференцирования изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (− t):

− tx (t) ® x ¢(s).                                         (3.12)

9. Свойство интегрирования изображения: интегрированию изображения в пределах от s до ∞ соответствует деление оригинала на t, т.е. если интеграл сходится, то

.                                    (3.13)

10. Свойство умножения изображения: если x (t) ® x (s), y (t) ® y (s), то свертке функций

                    (3.14)

соответствует произведение изображений

x (t)* y (t) ® x (s) y (s).                                       (3.15)

11. Свойство умножения оригиналов: произведению оригиналов соответствует свертка изображений

,                  (3.16)

где γ = Re z.

12. Свойства предельных значений:

;                           (3.17)

.                      (3.18)

Преобразование Фурье

Прямым преобразованием Фурье называется оператор

,                         (3.19)

обратным преобразованием Фурье

.                         (3.20)

Преобразование Фурье ставит во взаимное соответствие два множества функций (f (t) ↔ F (i ω)): первое множество f (t) – функции действительного аргумента t; второе множество F (i ω) – функции мнимого аргумента i ω. Прямое преобразование Фурье (3.19) позволяет по заданному оригиналу f (t) найти его изображение F (iω), обратное преобразование (3.20) позволяет по заданному изображению F (i ω)найти оригинал F (t). Преобразование Фурье используют для построения спектров сигналов.

Основными свойствами преобразования Фурье являются:

1. Свойство линейности:

если , то ,                       (3.21)

где f (t), f ₁(t),..., f_n (t) – функции; F (i ω), F ₁(i ω),..., F_n (i ω) – изображения соответствующих функций.

2. Свойство запаздывания:

если f (t) ® F (i ω),то f (t −τ) ® e^{− i ωτ} F (i ω).                            (3.22)

3. Свойство смещения спектра:

если f (t) ® F (i ω),то .            (3.23)

4. Свойство различного характера функции f (t):

если функция f (t) четная, то ее изображение является вещественной функцией, четной относительно ω и определяется как

.                             (3.24)

если функция f (t) нечетная, то ее изображение является чисто мнимой функцией, нечетной относительно ω:

.                               (3.25)

Существует значительное количество свойств преобразования Фурье, но именно приведенные выше (3.21) - (3.25) используются при исследовании регулярных сигналов.

СИГНАЛЫ И СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ

Представление сигналов

Наибольшее распространение получило математическое представление сигналов, виды представлений сигналов делятся на три группы:

1) непрерывное представление – сигнал определен в любой момент времени (рис. 4.1а);

2) дискретно-непрерывное представление – сигнал является квантованным по времени и непрерывно изменяется только по уровню (рис. 4.1б);

3) дискретное представление – выходной сигнал квантован как по времени, так и по уровню (рис.4.1в).

Рис. 4.1 Виды математических представлений сигналов:

а)непрерывное; б)дискретно-непрерывное; в)дискретное

В результате квантования сигнала по времени при дискретно-непре-рывном и дискретном представлениях может произойти потеря информации. Для ее уменьшения необходимо выполнять теорему Котельникова.

Смысл теоремы Котельникова состоит в том, что, если требуется передавать сигнал, описываемый функцией f (t) с ограниченным спектром, то достаточно передавать отдельные мгновенные значения, отсчитанные через конечный промежуток времени , где F_C – ширина спектра. По этим значениям непрерывный сигнал может быть полностью восстановлен на выходе системы.

Виды сигналов

В теории автоматического управления используются сигналы:

1. Единичный скачок 1(t), называемый функцией Хевисайда (рис. 4.2).

                                                                     (4.1)

Функция Хевисайда физически нереализуема, возможно лишь определенное приближение к этой функции.

2. Единичная импульсная функция – дельта-функция d(t) (рис. 4.3), называемая функцией Дирака, – это функция, удовлетворяющая условиям:

1)  2)                           (4.2)

d(t) можно представить как импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды с площадью, равной единице (рис. 4.4).

       

           Рис. 4.2. 1(t)                      Рис. 4.3. d(t)          Рис. 4.4. Площадь d(t)

К основным свойствам δ-функции можно отнести следующие:

1) ;  2) δ(t) = δ(– t); 3) .           (4.3)

Между функцией Дирака и функцией Хевисайда существует связь:

d[ t ] = 1¢(t) или .                                           (4.4)

На практике считается, что на вход объекта подана δ-функция, если время действия прямоугольного импульса намного меньше времени переходного процесса.

3 Синусоидальный гармонический сигнал (рис. 4.5а)

x (t) = A ·sinw t                                         (4.5)

используют при исследовании систем автоматического регулирования частотными методами. Его можно представить как вращение вектора длиной А вокруг начала координат (рис. 4.5б) с угловой скоростью ω, рад/с.

Сигнал характеризуется амплитудой – А; периодом – Т; фазой – j.

Рис. 4.5. Гармонический сигнал: a - обычный сигнал;

б - представление гармонического сигнала вращением вектора;

в - гармонический сигнал со сдвигом фазы

Между периодом и угловой скоростью справедливы соотношения

; .                                     (4.6)

Если сигнал начинается не с момента времени t = 0, то он характеризуются фазой j (рис. 4.5б), которая во временной области соответствует отрезку ∆ t (рис. 4.5в).Перевод осуществляется по формуле

.                                             (4.7)

4. Сдвинутые элементарные функции

К этим функциям относятся функции Хевисайда и Дирака с запаздыванием 1(t – τ) и δ(t – τ) (рис. 4.6)

                      (4.8)

Рис. 4.6. Сдвинутые элементарные функции

К основным свойствам сдвинутых функций можно отнести:

1) ; 2) δ(t –t) = δ (t– t) = δ(–(t –t)); 3) . (4.9)

5. Сигнал произвольной формы (рис. 4.7а).

Сигнал произвольной формы представляют с помощью δ-функции (рис. 4.7б), для чего в момент времени t_i, строят столбик высотой x (t_i) и основанием D t_i. Этот импульс выражают через приближенную d-функцию  площадью, равной 1, шириной D t_i и высотой 1/D t_i. Тогда высота столбика . Заменяя функцию x (t) набором импульсов (рис. 4.7в),можно записать . Если n ® 0, D t_i ® t, , то

.                                            (4.10)

Рис. 4.7. Сигнал произвольной формы:

а) входной непрерывный сигнал; б) импульс x (i);

в) суперпозиция импульсов, определяющих сигнал x (t)

Сигнал произвольной формы можно представить через единичные функции, для чего выражение (4.10) следует проинтегрировать по частям, используя подстановку δ(t − τ) = 1¢(t − τ), тогда

.                           (4.11)