Элементы теории функций комплексного переменного

Комплексным числом называется число, определяемое соотношением z= a + i b, где а и b – действительная и мнимая части числа. Такая форма записи называется алгебраической. На комплексной плоскости в координатах Rе (действительная часть) и Im (мнимая часть) комплексное число геометрически представляют вектором, оно также может быть изображено в полярных координатах z = Me^{i j}, где М (модуль) – длина вектора z и j (фаза) – угол между положительной ветвью действительной оси и вектором z.

Третья форма записи комплексного числа – тригонометрическая, так как e^{± i j} = cosj ± i sinj, z = M cosj ± iM sinj.

Cоставляющие комплексного числа связаны между собой следующими соотношениями ; a = M cosj; b = M sinj.

При вычислении фазы (аргумента) числа необходимо учитывать, в каком квадранте находится точка z (рис. 6.3).

Рис. 6.3 Определение фазы в зависимости от расположения

I квадрант: ;

II квадрант: ;

III квадрант: ;

IV квадрант: .

При этом 1 = e^{i 0}; –1 = e^{i p}; i = e^{i p/2}; – i = e ^{– i p/2}.

Над комплексными числами проводят те же алгебраические операции, что и над действительными. Сложение и вычитание удобнее проводить над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:

z ₃ = z ₁ ± z ₂ = (a ₁ ± ib ₁) ± (a ₂ ± ib ₂) = (a ₁ ± a ₂) ± i (b ₁ ± b ₂),

а умножение и деление над числами показательной форме

; .

Если аргумент функции – комплексное число, то функция является функцией комплексного переменного. Функцией комплексного переменного называется некоторый оператор (правило), согласно которому точке одной плоскости комплексного переменного ставится в соответствие точка другой плоскости комплексного переменного.

Частотные характеристики

Частотные характеристики линейных систем характеризуют реакцию объекта на гармонический сигнал. Основной частотной характеристикой является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ). Рассмотрим преобразования Лапласа  и Фурье .

При сравнении преобразований видно, что формально преобразование Фурье может быть получено из преобразования Лапласа простой заменой s на i ω. Заменяя в уравнении (6.4) s на i ω, получим

(a_n (i w) ⁿ+a_{n −1}(i w) ^{n –1} +...+a ₁(i w) +a ₀) y (i w) =(b_m (i w) ^m+b_{m −1}(i w) ^{m –1} +...+b ₁(i w) +b ₀) x (i w),

,       (6.9)

.

Тогда амплитудно-частотная характеристика M (w) является четной функцией; фазочастотная характеристика j(w) – нечетной функцией; вещественная частотная характеристика Re(ω) – четной функцией; мнимая частотная характеристика Im(ω) – нечетной функцией (рис. 6.4 и 6.5).

Рис. 6.4 Свойство четности частотных характеристик: а) АЧХ; б) ВЧХ

Рис. 6.5 Свойство нечетности частотных характеристик: а) ФЧХ; б) МЧХ

Амплитудно-фазовая характеристика также может рассматриваться как изображение Фурье от весовой функции

.                                   (6.10)

Так как e ^{– i w t} = cosw t – i sinw t, то из (6.10) определим вещественную и мнимую характеристики  и, следовательно,

, .             (6.11)

Откуда следует, что Re(ω) = Re(−ω), Im(ω) = −Im(−ω).

При практических расчетах АФХ строят только для положительных частот. Используя формулу обратного преобразования Фурье, можно по АФХ получить весовую характеристику

.                              (6.12)