Идеальное дифференцирующее звено

Уравнение идеального дифференцирующего звена

y (t) = kx ¢(t),                                                                                   (7.15)

то есть изменение выходной координаты пропорционально скорости изменения входной координаты.

Передаточная функция                                                 (7.16)

Частотные характеристики изображены на рис. 7.4:

АФХ: W (i w) = k × i w = k w e^{i p/2};                                                 (7.17)

АЧХ: M(w) = k w;                                                                         (7.18)

ФЧХ: j(w) = p/2.                                                                         (7.19)

Рис. 7.4. Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена:

а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

АЧХ прямо пропорциональна частоте, а ФЧХ не зависит от частоты и равна π/2. Годограф АФХ совпадает с положительной ветвью мнимой оси. Переходная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид:

h (t) = k ×1¢(t) = k d(t),                               (7.20)

то есть представляет собой δ-функцию с площадью, равной k.

Весовая функция представляет собой производную от δ-функция

w (t) = k d¢(t).                                  (7.21)

Временные характеристики изображены на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Переходные характеристики идеального дифференцирующего звена:

а) переходная функция; б) весовая функция

Реальное дифференцирующее звено

Идеальных дифференцирующих звеньев в природе не существует. Объект, обладающий дифференцирующими свойствами, описывается как реальное дифференцирующее звено

Ty ¢(t) + y (t) = T _д x ¢(t).                                     (7.22)

Передаточная функция .                                       (7.23)

Частотные характеристики представлены на рис. 7.6:

АФХ: ;                  (7.24)

АЧХ: ;                                                            (7.25)

ФЧХ: j = p/2 – arctg T w.                                                              (7.26)

Рис. 7.6. Частотные характеристики реального дифференцирующего звена:

а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

У реального дифференцирующего звена верхний предел амплитудно-частотной характеристики ограничен величиной Т_д / Т. Фазочастотная характеристика при увеличении частоты уменьшается от π/2 до нуля. АФХ представляет собой полуокружность диаметром Т_д / Т.

Переходная функция ;                                      (7.27)

весовая функция .                                                (7.28)

На рис. 7.7показаны переходные характеристики реального дифференцирующего звена.

Рис. 7.7. Переходные характеристики реального дифференцирующего звена:

а) переходная функция; б) весовая функция

В силу инерции реальных звеньев изменение переходных характеристик происходит постепенно. Для того, чтобы приблизить свойства реального звена к свойствам идеального, необходимо одновременно увеличивать коэффициенты передачи Т_д и уменьшать постоянную времени Т так, чтобы их произведение Т_дТ оставалось постоянным.

Форсирующее звено

Форсирующим звеном называется звено, описываемое уравнением

.                                           (7.29)

Передаточная функция

W (s) = k (1 + Ts).                                   (7.30)

Частотные характеристики форсирующего звена показаны на рис. 5.9:

АФХ: ;                      (7.31)

АЧХ: ;                                                          (7.32)

ФЧХ: j(w) = arctgw T.                                                                 ...(7.33)

Рис. 7.8. Частотные характеристики форсирующего звена: а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Переходная функция: h (t) = k (1(t) +Td(t));                               (7.34)

весовая функция: w (t) = k (d(t) + T d¢(t)).                                           (7.35)

Графически переходные характеристики представлены на рис. 7.9.

Рис. 7.9. Переходные характеристики форсирующего звена:

а) переходная функция; б) весовая функция

Звено чистого запаздывания

Уравнение звена чистого запаздывания y (t) = x (t – τ).            (7.36)

Передаточная функция: W (s) = e ^{– s τ}.                                                    (7.37)

Графики частотных характеристик изображены на рис. 7.10:

АФХ: W (i w) = e ^{– i wτ};                                                                     (7.38)

АЧХ: M (ω) = 1;                                                                            (7.39)

ФЧХ: j(ω) = –wt.                                                                        (7.40)

Риc. 7.10. Частотные характеристики звена чистого запаздывания:

а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Так как М(ω) = 1, а отставание по фазе выходных колебаний прямо пропорционально частоте с коэффициентом пропорциональности равным времени чистого запаздывания, то годограф АФХ представляет собой окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Переходные характеристики:

переходная функция: h (t) = 1(t – τ);                                                 (7.41)

весовая функция: w (t) = (t – τ).                                                          (7.42)

Графики переходных характеристик изображены на рис. 7.11.

Рис. 7.11. Переходные характеристики звена чистого запаздывания:

а) переходная функция; б) весовая функция

 

СТАТИЧЕСКИЕ ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ