Дискретизация непрерывных сигналов

Операция преобразования непрерывных сигналов, называемая дискретизацией, заключается в том, что непрерывная функция непрерывного аргумента представляется в виде совокупности отдельных мгновенных значений функции, взятых в моменты времени, отстоящие один от другого на определенный временной интервал.

Таким образом, дискретизация сигналов представляет собой операцию преобразования непрерывных по времени и амплитуде сигналов в сигналы, дискретные по времени и непрерывные по амплитуде. Такие сигналы называют дискретными сигналами.

Значения сигнала, взятые в дискретные моменты времени, называют дискретными отсчетами сигнала. Интервал времени Δ t называют периодом или шагом дискретизации. Каково предельное максимальное значение Δ t, при котором непрерывный сигнал еще можно представить дискретным сигналом. Ответ на этот вопрос дает теорема В. А. Котельникова.

Прежде чем перейти к формулировке теоремы, рассмотрим следующее обстоятельство. Все реальные сигналы в технических системах имеют конечную протяженность во времени (устройство когда-то включают, но через какое-то время его и выключают). Известно, что функция времени конечной длительности имеет бесконечный по протяженности спектр. В то же время, у реальных сигналов основная часть энергии сигнала сосредоточена в спектральных составляющих, расположенных в конечной полосе частот, называемой практической шириной спектра. Как определить практическую ширину спектра, мы рассмотрели выше на примере. Даже если сигнал имеет неубывающий спектр, например δ-функция или единичный скачок, то после прохождения через реальные устройства (усилители, фильтры и т. п.) спектр на выходе устройства будет спадать с увеличением частоты. При этом, начиная с некоторой частоты, составляющие высокочастотной части спектра непрерывного сигнала оказываются ниже уровня помех, которые имеются в линиях передачи и устройствах преобразования сигнала. Эти составляющие воспринимаются получателем сигнала как шум.

Таким образом, можно ввести идеализацию, рассматривая все реальные непрерывные сигналы U (t) как функции с ограниченным спектром

.                                    (5.1)

Графически это можно представить в виде

Рисунок 5.1 – Спектральная характеристика функции

с ограниченным спектром

Теорема В. А. Котельникова

Сигнал, описываемый функцией с ограниченным спектром, полностью определяется своими значениями, отсчитанными через интервалы времени

,                                        (5.2)

где F _{С макс} –максимальная частота в спектре сигнала.

Для измерительных сигналов, к которым относятся и биомедицинские сигналы, F _{С макс} определяет ширину спектра сигнала.

Если непрерывный сигнал существенно отличается от нуля только на интервале времени Т _С и имеет спектр, ограниченный F _{С макс}, то он может быть представлен конечным числом отсчетов

.                                    (5.3)

Длительность существования сигнала Т _С может быть интервалом времени между включением и выключением устройства или практической длительностью одиночного сигнала, определение которой мы рассмотрели выше на примере экспоненциального одиночного импульса.

Если T _C>>Δ t, то можно принять m ≈2 F _{C макс} Т _С.

Краткая информация о Владимире Александровиче Котельникове.

Теорему доказал в 1933 г. в возрасте 25 лет.

С 1953 г. академик АН СССР, с 1970 г. ее вице-призидент.

С 1954 г. директор института радиотехники и электроники АН СССР.

С 1980 г. председатель совета «Интеркосмос».

Лауреат многих Ленинских и государственных премий.