Система тригонометрических функций

                      {φ_k(t)}={φ₀(t)≡1, φ_k^C(t)=cos(k Ω₁ t), φ_k^S(t)=sin(k Ω₁ t)},     (2.1)

где   k = 1, 2, 3, …,

, Т – период повторения сигнала,

с и s – индексы, обозначающие четность и нечетность функции соответственно.

Система (2.1) является полной и ортогональной на любом интервале длиной Т.

Функция  имеет норму . Для остальных функций норма равна .

Система комплексных экспоненциальных функций

 {φ_k(t)}={exp(jk Ω₁ t },                                    (2.2)

где k =…-2, -1, 0, 1, 2, …,

, Т – период повторения сигнала.                               

Система (2.2) является полной и ортогональной на любом интервале длиной Т. Все функции имеют норму .

Системы (2.1) и (2.2) используются для разложения на элементарные составляющие сигналов любой формы, имеющих период повторения Т, а также сигналов, заданных только на интервале длиной Т, полагая при этом, что эти сигналы повторяются с периодом Т.

В биомедицинской практике системы (2.1) и (2.2) применяются для анализа вариабельности сердечного ритма, при анализе низкоамплитудных потенциалов в биомедицинских сигналах, в частности поздних потенциалов предсердий и желудочков.

В ряде случаев представление биомедицинского сигнала суммой гармонических составляющих в соответствии с (2.1) и (2.2) не позволяет явно выразить соответствующий информативный параметр ограниченным набором спектральных коэффициентов. Например, для информативных параметров ST-сегмента электрокардиосигнала, смещения и наклона относительно изолинии, выпуклости, только смещение представляется одним спектральным коэффициентом С₀ при равенстве нулю всех остальных спектральных коэффициентов. Остальные же параметры характеризуются множеством спектральных коэффициентов, причем разным значениям этих параметров соответствует свой набор спектральных коэффициентов. Это обстоятельство делает практически невозможным оценивать информативные параметры ST-сегмента спектральными коэффициентами упомянутых выше базисов (2.1) и (2.2).

Полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра L_n (x) отрогональны на отрезке [–1, 1] с единичной весовой функцией h (x)=1. Они могут быть определены на основе рекурентного соотношения

,                       (2.3)

при этом L ₀(x)=1, L ₁(x)= x.

Нормирующий множитель (квадрат нормы)

.

На рисунке 2.1 показаны первые четыре полинома Лежандра, вычисленные на основе (3). Упорядочение осуществляется по степени полинома.

Рисунок 2.1 – Полиномы Лежандра

Вычисление спектральных коэффициентов производится по формуле, аналогичной формуле (1.6) из темы 1:

.                        (2.4)

Если сигнал, подлежащий исследованию, представлен в виде дискретных во времени отсчетов, то целесообразно использовать дискретные полиномы Лежандра. Аргументом при этом является последовательность натуральных чисел 0, 1, 2,…, k,…, Km, где Km – номер последнего отсчета.

В общем виде дискретный полином Лежандра степени n определяется на Кm +1 равноотстоящих отсчетов выражением

,                          (2.5)

где  – число сочетаний из А элементов по В элементов, n =0, 1, 2, ….

Полиномы (2.5) ортогональны на отрезке [0, Km ] с единичной весовой функцией.

 

Нормирующий множитель (квадрат нормы) определяется как

.                                 (2.6)

Спектральные коэффициенты определяются в этом случае выражением

.                           (2.7)

Функции Уолша

Система функций Уолша впервые была описана математиком Уолшем (Walsh J.) в 1923 г.

Система функций Уолша , i =0, 1, 2,…, 0≤θ<1 является расширением системы функций Радемахера:

,                                       (2.8)

где ,

до полной системы и определяется как

,                                      (2.9) 

где i =0, 1, 2,…, 2 ⁿ –1,

значение j -го разряда в записи числа i в коде Грея.

Функции Уолша – кусочно-непрерывные ступенчатые функции, принимающие на области определения два дискретных значения: +1 и –1.

Упорядочение функций Уолша возможно несколькими способами.

Упорядочение по Уолшу. В данном случае упорядочение осуществляется по числу пересечений нулевого уровня.

Упорядочение по Пэли. Это наиболее удобное с точки зрения программной и особенно аппаратной реализации упорядочение.

В этом случае номер функции Уолша, представленный в двоичном коде, определяет номера перемножаемых функций Радемахера:

,                                       (2.10)

где i_j – значение j -го разряда в двоичном представлении числа i.

Например, для функции pal ₅(θ) соответствующий двоичный код – 101, и . На рисунке 2.2 приведены первые четыре функции Уолша, упорядоченные по Пэли.

 

Рисунок 2.2 – Функции Уолша, упорядоченные по Пэли

 

Вычисление спектральных коэффициентов в базисе функций Уолша производится как

.                                (2.11)

Функции Хаара

Полная, ортонормированная система на интервале 0 ≤ Θ < 1.

    m – номер группы, i – номер функции в группе.

                                                                                (2.12)

                                                  (2.13)

                            (2.14)

, .

Вычисление спектральных коэффициентов в базисе функций Хаара производится как

                                       (2.15)

     На рисунке 2.3 приведены первые восемь функций Хаара.

 

Рисунок 2.3 – Функции Хаара

 

В инженерных расчетах для упорядочения базисных функций желательно использовать один индекс. В этом случае приведенные выше восемь функций Хаара можно упорядочить следующим образом: Har₀(Θ), Har₁(θ), Har₂(θ),…, Har_i(θ),…, Har₇(θ). Изменение порядка индексации функций требует иного их описания.

,                              (2.16)

где i = 1,2,… – номер базисной функции;

n _c – номер старшего ненулевого разряда в двоичном представлении числа i, младший разряд имеет номер 0;

 – функция Радемахера порядка n _c+1;

;

 - величина i по модулю , то есть остаток от деления числа i на модуль.

При таком представлении спектральные коэффициенты в базисе функций Хаара определяются следующим образом:

                                            (2.17)

В базисных функциях Уолша и Хаара параметр θ физически соответствует относительному времени. Для конкретного участка исследуемого сигнала, расположенного на интервале времени от t ₀ до t ₀+ Т с, где Т с – длительность рассматриваемого участка, θ определяется следующим образом:

,                                          (2.18)

где t _x – текущее время, t ₀£ t _x< t ₀+ T c.

Сигнал на участке относительного времени 0£θ<1 можно представить в базисе функций Хаара в виде

                        .                                    (2.19)

 

Тема 3. Частотная форма представления сигналов. Спектр периодического сигнала. Распределение энергии в спектре периодического сигнала.