Порядок расчета активных фильтров

     Рассмотрим последовательность расчета типовой ячейки второго порядка, выполненной на основе инвертирующего операционного усилителя (рисунок 9.6).

     1) Задать частоту среза  и коэффициент усиления на нулевой частоте  (, так усилитель инвертирующий).

     2) Выбрать значение емкость конденсатора С₁ из соотношения

                                 (9.9)

Выбирается ближайшее значение из стандартного ряда.

     3) Выбирать из справочника коэффициенты a _i и b _i для каждой ячейки.

     4) Определить коэффициент m, связывающий параметры a _i и b _i:

                                                (9.10)

     5) Выбрать значение  из условия . Выбирается ближайшее меньшее значение из стандартного ряда. Слишком уменьшать значение С ₂ не рекомендуется.

     6) Вычислить значения сопротивлений резисторов R3, R2, R1:

Начинается расчет с резистора R3 в цепи обратной связи операционной схемы (рисунок 9.6) -

;                 (9.11)

;                                (9.12)

                                         (9.13)

Резисторы  также выбираются ближайшие из стандартного ряда.

Если необходимо изменить частоту среза, то сделать это можно достаточно просто, изменив значения емкости конденсаторов. В случае, если требуется увеличить частоту среза  или уменьшить , то емкости конденсаторов рассчитываются по формулам  или  соответственно, а резисторы остаются те же.

 

Тема10. Дискретное преобразование Фурье. Цифровая фильтрация.

Дискретное преобразование Фурье

     Как изменится спектр сигнала при его преобразовании из непрерывной формы в дискретную? Спектр непрерывного одиночного сигнала (рисунок 10.1, верхний ряд, слева) является сплошным (рисунок 10.1, верхний ряд, справа).

 

Рисунок 10.1 – Трансформация спектра при переходе

от непрерывного сигнала к дискретному

 

Спектр дискретного сигнала (рисунок 10.1, средний ряд, слева) становится периодическим, и период повторения спектральных составляющих определяется периодом дискретизации Т (рисунок 10.1, средний ряд, справа).

Спектр дискретного сигнала имеет спектральные составляющие на частоте дискретизации. У каждой составляющей имеются также боковые составляющие, которые определяются спектром исходного непрерывного сигнала. На частотах  спектральная характеристика дискретного сигнала совпадает со спектральной характеристикой исходного непрерывного сигнала (рисунок 10.1, средний ряд).

k=

Пронумеруем дискретные отсчеты сигнала: . Тогда длительность сигнала . Будем считать, что сигнал периодически повторяется с периодом . Если дискретный сигнал периодически повторяется (рисунок 10.1, нижний ряд, слева), то его спектр становится периодическим и дискретным (рисунок 10.1, нижний ряд, справа).

Длительность наблюдения сигнала, принимаемая за период повторения наблюдаемого сигнала, определяет разрешающую способность спектра этого сигнала по частоте в низкочастотной области и между соседними составляющими.

Число дискретных отсчетов, которыми представлен сигнал, наблюдаемый в течение времени Т_с, определяет максимальную по частоте составляющую, которую можно обнаружить в спектре сигнала.

Для дискретных периодических сигналов преобразование сигнала из временной формы в частотную производится с помощью прямого дискретного преобразования Фурье, а преобразование из частотной формы во временную – с помощью обратного дискретного преобразования Фурье.

     Переход от непрерывного к дискретному преобразованию Фурье осуществляется следующим образом. В базисных функциях  осуществляется замена:

                        ; ; .

В результате n -я базисная функция дискретного аргумента k будет иметь вид

                        ,                     (10.1)

где  - дискретная базисная функция,

n – номер базисной функции,

роль времени выполняют порядковые номера отсчетов k,

роль периода выполняет число дискретных отсчетов N, умещающихся на одном периоде сигнала Т_с.

Применяют следующие обозначения:

     ; тогда .

     Свойства дискретных базисных функций

     Как и непрерывные базисные функции, функции  ортогональны.

                                 ,

N является квадратом нормы.

     Функции  являются периодическими с периодом N. Периодичность сохраняется как по n, так и по k. Аналитически это свойство представляется так:

                                 .

С учетом введенных обозначений прямое дискретное преобразование Фурье (ПДПФ) запишется следующим образом

, ,           (10.2)

а обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ):

.                                      (10.3)

     Спектр дискретного периодического сигнала также дискретный и периодический с периодом N:

                                 ,

Это является особенностью дискретного преобразования Фурье.

     Для расчета n -ой составляющей частотного спектра используют все N отсчетов сигнала во времени. Для определения одного отсчета во времени используют все N частотных составляющих.

     Чем больше время наблюдения сигнала Т _с, принимаемое за период его повторения, тем большее разрешение по частоте можно получить, так как . Чем большим числом отсчетов N представлен сигнал, тем более высокочастотные составляющие в спектре сигнала можно выявить.

     Свойства дискретного преобразования Фурье.

1) ДПФ линейны.

;

     ;

     .

2) Комплексная сопряженность.

Если

; , причем  - четное, U (k) - действительные числа, то

 , .

3) Теорема запаздывания (сдвига).

Если

; ;

то

,

Это значит, что сдвиг последовательности отсчетов U (k) на m интервалов дискретизации приводит лишь к изменению фазо-частотной характеристики ДПФ.

Применение дискретного преобразования Фурье

Спектральный анализ сигнала (рисунок 10.2)

Непрерывный сигнал U (t) дискретизируется, дискретные отсчеты запоминаются в устройстве памяти М (возможно и в цифровой форме), далее осуществляется дискретное преобразование Фурье в соответствии с (10.2)

 

Рисунок 10.2 – Определение спектрального состава сигнала

 

Применение ДПФ для цифровой фильтрации (рисунок 10.3)

 - дискретная передаточная функция фильтра.

Рисунок 10.3 – Вариант фильтрации сигнала с применением прямого

 дискретного преобразования Фурье (ПДПФ) и обратного

дискретного преобразования Фурье (ОДПФ )

Цифровые фильтры

     Фильтрационные свойства ФНЧ определяются его импульсной переходной характеристикой (весовой функцией).

Если сигнал представлен в виде дискретных отсчетов, то весовая функция описывается конечным значением весовых коэффициентов.

     Обычно используют нормированные весовые функции:

                                                                                         (10.4)

     Число отсчетов определяет порядок фильтра. Если порядок четный, то в середине весовой функции два одинаковых коэффициента.

      Возможны два варианта осуществления процесса фильтрации при дискретном представлении сигнала.

1. В формировании n -го отсчета выходного сигнала используются только К предыдущих отсчетов входного сигнала:

                                      (10.5)

 - номер отсчета на выходе фильтра,

 - отсчеты входного сигнала,

 - число отсчетов импульсной характеристики.

     Время задержки:

                                                                          (10.6)

     Фильтры, описываемые выражением (10.5), называются нерекурсивными фильтрами или дискретными фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Их удобно применять для обработки биомедицинских сигналов, так как они имеют линейную фазо-частотную характеристику, то есть  однозначно определяется из (10.6).

Эти фильтры эффективны при . При уменьшении  по отношению к  возрастает порядок фильтра, то есть увеличивается .

2. В формировании n-го отсчета выходного сигнала используются К предыдущих отсчетов входного сигнала и М предыдущих отсчетов выходного сигнала. При этом М < К:

                               (10.7)

     ; , a _k, b _k – весовые коэффициенты.

     Такие фильтры называют фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) или рекурсивными фильтрами. Они позволяют реализовать фильтр на заданную частоту среза с меньшими затратами по сравнению с нерекурсивными фильтрами (то есть фильтр имеет меньший порядок).

Однако фильтры с БИХ имеют нелинейную ФЧХ.

В соответствии со свойствами дискретного преобразования Фурье АЧХ цифрового фильтра периодична с периодом, равным частоте опроса f _опр, и симметрична относительно частот mf _опр /2, где m=1, 2, …(рисунок 10.4).

         

 

 

Рисунок 10.4 – АЧХ цифрового фильтра нижних частот