Раздел 5. Восстановление непрерывных сигналов

 по дискретным отсчетам

 

Тема 8. Восстановление непрерывных сигналов по дискретным отсчетам. Интерполяционный способ восстановления. Принцип скользящей интерполяции. Функция отсчета. Интерполирующий полином Лагранжа. Погрешность интерполяции.

Восстановление непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам можно производить как на основе ортогональных, так и неортогональных базисных функций.

Применение ортогональных базисных функций для восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам мы рассмотрели ранее при изучении ряда Котельникова. В данном случае базисными функциями были функции типа (sinx)/ x.

При неортогональных представлениях непрерывных сигналов наиболее часто используются степенные алгебраические полиномы

,                                    (8.1)

где n – степень полинома,

a _j – действительные коэффициенты.

Если провести полином через дискретные отсчеты таким образом, что его значения в точках отсчетов совпадают со значениями отсчетов, то такой полином называют интерполирующим.

     При интерполяции строят так называемую интерполирующую функцию  (рисунок 8.1).

     Интерполирующая функция  в точках отсчетов разделенных периодом дискретизации совпадает с соответствующими отсчетами функции U (t), а в остальных точках приближенно представляет функцию U (t) c той или иной степенью точности.

Рисунок 8.1 – Интерполирующая функция

Принцип скользящей интерполяции

На практике для восстановления непрерывного сигнала в режиме реального времени применяют скользящее интерполирование. Это значит, что интерполирование производится не сразу на всем интервале существования сигнала, а только на интервале от t _k до t _k+n, в котором имеется (n +1) отсчетов. Для этого берут n +1 подряд идущих отсчетов, через них проводят полином степени n.

     На каждом очередном периоде дискретизации из n +1 отсчетов отбрасывается первый и добавляется очередной отсчет. Через вновь полученные n +1 отсчетов вновь проводят полином степени n.

     Интервал, содержащий n +1 отсчетов, называют интервалом интерполяции.

Функция отсчета

Для каждого отсчета формируется функция отсчета, то есть реакция устройства восстановления на один отсчет. Для построения функции отсчета берется один отсчет сигнала, а все отсчеты слева и справа от него приравниваются нулю. Через n +1 отсчетов проводят полином n -й степени. Построения производят n +1 раз. Именно столь раз можно провести отличающийся от нуля полином через n +1 отсчетов. 

Например, функция отсчета для полинома первой степени имеет вид равнобедренного треугольника. Результат построения получается с задержкой, так как построения возможны только после поступления последнего из n +1 отсчетов. При линейной интерполяции задержка равна периоду дискретизации (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2 – Функции отсчетов

     Интервал на котором значения интерполирующего многочлена присваиваются значениям интерполирующей функции называется интервалом соответствия. Интервалы соответствия обозначат буквой l и нумеруют числами от 0 до n – 1: l =0, 1,…, n –1.

Для линейной интерполяции l =0. Для полинома 2-го порядка l =0, 1.

     Задержка восстановленного сигнала определяется номером интервала соответствия.

     Для полинома 2 степени задержка может быть равна как периоду дискретизации (при l =0), так и двум периодам дискретизации (при l =1).

В общем виде время задержки определяется по формуле:

,                            (8.2)

  Пример построения интерполирующей функции на основе интерполирующего полинома второй степени

     Пусть есть последовательность дискретных отсчетов .

Полином второй степени имеет вид:

                                (8.3)

На каждом интервале интерполяции, включающем два периода дискретизации, полином вида (8.3) проводится через три соседних отсчета (рисунок 8.3). При этом на каждом интервале интерполяции надо рассчитывать свои коэффициенты А, В, С.

Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему из трех уравнений:

                (8.4)

В результате решения (8.4) получим выражения для определения коэффициентов:

 

Рисунок 8.3 – Построение интерполирующей функции второго порядка

         

Интерполирующий многочлен Лагранжа

     В качестве интерполирующего полинома при скользящем интерполировании часто применяется многочлен Лагранжа n -ной степени:

,   (8.5)

где l – интервал соответствия,

l =0, 1, 2,…, n -1; n – степень полинома,

 – значения отсчетов внутри интервала интерполяции,

t _k – начало интервала интерполяции,

i =0, 1,…, n – порядковый номер отсчета восстанавливаемой функции,                  

 – относительное время внутри интервала интерполяции,

,                               (8.6)

 - произвольный момент времени внутри интервала интерполяции.

Многочлен Лагранжа первой степени:

Индивидуальное задание. Вывести самостоятельно многочлены Лагранжа второй степени для l =0 и l =1 из общего выражения (8.5).

 

Погрешность интерполяции

     Ограничение степени интерполирующего полинома приводит к погрешности интерполяции. В случае использования интерполирующего полинома Лагранжа максимальная погрешность интерполяции определяется остаточным членом для многочлена Лагранжа степени n:

                (8.7)

где  - максимум n +1 производной восстанавливаемого сигнала.

     В точках, совпадающих с отсчетами () погрешность интерполяции равна нулю, . При  погрешность не равна нулю, .

Пусть  – допустимая приведенная погрешность восстановления.

Зная диапазон изменения сигнала U _макс, определим абсолютную допустимую погрешность     .

Очевидно, что при восстановлении непрерывного сигнала должно выполняться условие: . С учетом (8.7) это условие можно представить в виде

.   (8.8)

Здесь введено новое обозначение периода дискретизации - Т _опр, то есть период опроса. Очевидно, что чем меньше период опроса, тем точнее может быть восстановлен непрерывный сигнал по дискретным отсчетам. Задавшись допустимой погрешностью восстановления, из (8.8) можно определить предельно допустимое максимальное значение периода опроса

.                                  (8.9)

Выражение (8.9) справедливо для погрешностей восстановления .

В этом случае для интерполяции с использованием полиномов Лагранжа нулевого, первого и второго порядков, называемую также ступенчатой, линейной и параболической интерполяцией, справедливы выражения:

,                           (8.10)

,                              (8.11)

.                           (8.12)

     Последнее выражение справедливо как для l =0, так и для l =1.

Максимум (n +1)-й производной можно определить только для детерминированного сигнала, например гармонического. Для реальных сигналов невозможно определить M _n+1.

     Для сигнала с прямоугольным спектром получены следующие соотношения [Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации]:

                                       (8.13)

или                  ,                                (8.14)

                                     (8.15)

или                  ,                              (8.16)

,                                      (8.17)

или                  ,                                      (8.18)

где Δ t – период дискретизации по теореме Котельникова,

F _{с макс} – максимальная частота в спектре дискретизируемого сигнала.