Характеристики во временной области

Для анализа работы ФНЧ во временной области исследуют его переходную характеристику (рисунок 9.3).

Переходной характеристикой h (t) называют реакцию фильтра на единичный скачок напряжения.

 

Рисунок 9.3 – Переходная характеристика ФНЧ

 

Параметры, характеризующие ФНЧ во временной области.

1. Время задержки. Измеряется от момента t ₀ до момента достижения выходным сигналом уровня 0.5. 

2. Время нарастания или длительность фронта. Отрезок времени между значениями выходного сигнала, составляющими 0.1 и 0.9 от установившегося значения. Для RC цепочки длительность фронта примерно 2.2τ.

3. Время установления. За это время принимаем интервал времени от t ₀ до момента времени, когда сигнал на выходе фильтра войдет в заданную полосу допуска.

4. Коэффициент перерегулирования – превышение выходным сигналом установившегося единичного значения:

.                                          (9.3)

     Импульсная переходная характеристика g (t) – это реакция ФНЧ на единичный импульс (δ-функцию). Импульсную переходную характеристику называют еще весовой характеристикой фильтра.

Импульсная переходная характеристика связана с переходной характеристикой соотношением

.                                    (9.4)

     Импульсная переходная характеристика связана с частотной характеристикой преобразованием Фурье:

.                                    (9.5)

При прямоугольной АЧХ импульсная переходная характеристика имеет вид типа sinx / x (рисунок 9.4)     

При реализации фильтров на дискретных элементах обязательно присутствие в фильтре реактивных элементов (С или L). Сколько в схеме реактивных элементов, таким будет и порядок ФНЧ.

                       

Рисунок 9.4 – Импульсная характеристика ФНЧ с прямоугольной АЧХ

 

Для общности описания и анализа характеристик фильтров используют переход от текущей частоты к нормированной комплексной переменной

 ,

где  - текущая частота,

 - частота среза.

Передаточная функция ФНЧ n -го порядка описывается в общем виде уравнением

,                      (9.6)

где C ₁, С ₂, …, С _n - положительные действительные коэффициенты.

Для построения реального фильтра необходимо определить корнb полинома n -й степени.

Если корни действительные, то передаточную функцию можно представить в виде:

,                       (9.7)

где  - положительные действительные коэффициенты.

Если среди корней полинома есть комплексные, то он раскладывается на произведение сомножителей второго порядка, а передаточная функция ФНЧ представляется в виде

,       (9.8)

где  - положительные действительные коэффициенты.

Для полиномов нечетной степени =0.

Коэффициенты  определяют характер АЧХ фильтра, т.е. определяют плоскость вершины, крутизну спада АЧХ, и по этим параметрам можно оптимизировать вид АЧХ. Наиболее часто при обработке сигналов применяются следующие фильтры.

Фильтры Баттерворта

Эти фильтры имеют достаточно длинный горизонтальный участок АЧХ и резкий спад за частотой среза. Переходная функция фильтра имеет колебательный характер. С увеличением порядка фильтра колебания усиливаются

Фильтры Чебышева

В полосе пропускания АЧХ имеют волнообразный характер с постоянной амплитудой. Поэтому фильтры Чебышева иногда называют равноволновыми фильтрами.

С увеличением порядка фильтра число колебаний на промежутке от 0 до частоты среза увеличивается.

Переход от полосы пропускания к полосе подавления у фильтра Чебышева более резкий, чем у фильтра Баттерворта.

Колебательность переходной характеристики у фильтров Чебышева выражена сильнее, чем у фильтров Баттерворта.

Фильтры Бесселя

У фильтра Бесселя АЧХ в полосе пропускания спадает сильнее, чем у фильтра Баттерворта, а переход к полосе подавления более пологий (рисунок 9.5).

Отличительной особенностью этих фильтров является линейность фазочастотной характеристики в полосе частот пропускания фильтра (рисунок 9.2). Благодаря этому, групповое время задержки в полосе пропускания практически не зависит от частоты, поэтому фильтры Бесселя наиболее пригодны для обработки ступенчатых сигналов.

При одном и том же порядке фильтра переходная область наиболее крутая у фильтра Чебышева.

Рисунок 9.5 – Сравнение АЧХ разных ФНЧ

 

Выражения, описывающие зависимости модуля коэффициента передачи ФНЧ от частоты для разных фильтров приведены в следующих книгах:

1. У Титце, К. Шенк «Полупроводниковая схемотехника» М.: Мир, 1982. 512 с.

2. Д. Джонсон, Дж. Джонсон, Г. Мур «Справочник по активным фильтрам». М.: Энергоатомиздат, 1983. 128 с.

Во второй из них имеются сведения, как выбрать минимально необходимый порядок фильтра.

 

На практике для обработки сигналов широко применяются активные фильтры на R-C элементах. Типовая ячейка фильтра нижних частот второго порядка приведена на рисунке 9.6. Она выполнена на операционном усилителе при его инвертирующем включении. Другие возможные схемные решения ФНЧ можно посмотреть в приведенных выше книгах.

Такие фильтры эффективны до частоты среза f _ср до 100 кГц, что вполне достаточно для обработки биомедицинских сигналов. Ограничения по частоте определяются частотными свойствами операционного усилителя. Его коэффициент усиления при разомкнутой обратной связи на частоте среза должен быть не менее 50.

 

Рисунок 9.6 – Типовая ячейка ФНЧ второго порядка