Спектр периодического сигнала

Представим периодический сигнал u (t) в виде совокупности экспоненциальных комплексных функций в соответствии с выражением (1.1) из темы 1

.

В общем виде это представление можно записать следующим образом

                                (3.1)

Выражение (3.1) представляет сигнал через комплексные экспоненциальные базисные функции, умноженные на соответствующие спектральные коэффициенты, называют обратным преобразованием Фурье.

Коэффициенты  в общем случае являются комплексными величинами (что обозначено символом ^.) и могут быть определены с помощью выражений (1.6) или (1.7) из темы 1. Учитывая, для базиса комплексных экспоненциальных функций нормирующий множитель (квадрат нормы) равен Т, из (1.6) получим

                             (3.2)

Выражение (3.2), определяющее спектральные коэффициенты разложения сигнала u (t), называют прямым преобразованием Фурье.

Комплексный спектральный коэффициент можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей

.

Коэффициенты действительной и мнимой частей определяются выражениями

,                         (3.3)

.                     (3.4)

Комплексный коэффициент  можно представить в виде

,                                    (3.5)

где  - модуль, 

- фаза.

Графически комплексный спектральный коэффициент можно представить в виде вектора (рисунок 3.1)

 

Рисунок 3.1 – Комплексный спектральный коэффициент

Совокупность модулей называют спектром амплитуд, а совокупность аргументов  – спектром фаз.

Так как  и  определены только для целочисленных значений k, спектр периодического сигнала является дискретным (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Дискретный спектр периодического сигнала

 

С учетом введенных понятий модуля и фазы,  и , обратное преобразование Фурье (3.1) можно записать в виде:

                                (3.6)

В выражении (3.6) при k <0 частоты являются отрицательными, что не имеет физического смысла. Отрицательные частоты появились по формальным причинам в связи с применением комплексных базисных функций.

Чтобы избавиться от понятия «отрицательная частота», можно перейти к тригонометрической форме представления сигнала.

Выделим из ряда (3.1) пару слагаемых с одинаковыми значениями k. Так как модули четны по отношению к номеру k, а фазы нечетны, то справедливо , . Учитывая это, выделенную пару слагаемых можно представить в виде

                                       

Таким образом, получим

.               (3.7)

Множитель «2» появился потому, что ряде (3.1) имеется по две составляющих для каждого значения k, кроме k =0. Спектральный коэффициент С ₀ характеризует постоянную составляющую сигнала и всегда является действительным числом.

Из выражения (3.7) видно, что «отрицательные» частоты исчезли из представления сигнала u (t).

Представление периодического сигнала системой