Різницева апроксимація диференціальних рівнянь однокроковими методами

Виберемо на відрізку деяку систему , значень аргумента так, щоб виконувалися співвідношення . Множину  називають сіткою, точки — вузлами сітки, величину - кроком сітки. Якщо , сітка називається рівномірною, в іншому разі - нерівномірною. Сітковою функцією y=y_j=y(x_j) називається функція, що задана у вузлах сітки. Будь-яку сіткову функцію y_j=y(x_j) можна представити у вигляді вектора Y=(y₀, y₁,..., y_n-1, y_n).

Нехай маємо диференціальне рівняння L у(x) = f(x, у) (наприклад,  ), де L – диференціальний оператор.

Замінимо L у у вузлі сітки x_i лінійною комбінацією значень сіткової функції y_i на деякій множині вузлів сітки, яка називається шаблоном. Така заміна L у на L_hy_h називається апроксимацією на сітці диференціального оператора L різницевим оператором L_h. Заміна неперервної функції f(x, у) у вузлах сітки на сіткову функцію f(x_h,y_h) називається апроксимацією правої частини.

У такий спосіб диференціальне рівняння можна апроксимувати (замінити) на сітці різницевою схемою

L_hy_h = f(x_h,y_h) (наприклад, ).

Вивчення різницевих апроксимацій проводиться спочатку локально, тобто в будь-якому фіксованому вузлі сітки.

При розв’язуванні диференціальних рівнянь чисельним методом основним є питання про збіжність. Стосовно до різницевих методів традиційно більш уживане поняття збіжності при . Позначимо за  значення сіткової функції, що відповідає значенню точного розв’язку диференціального рівняння  у вузлі -  (  є наближеними значеннями ). Збіжність при  означає таке. Фіксуємо точку  і будуємо сукупність сіток  таким чином, що  і  (при цьому ). Тоді вважають, що чисельний метод збігається в точці , якщо  при , . Метод збігається на відрізку , якщо він збігається в кожній точці . Вважають, що метод має -й порядок точності, якщо можна знайти таке число , що  при .

Уведемо далі поняття нев'язки, або похибки, апроксимації різницевого рівняння, що заміняє задане диференціальне рівняння, на розв’язку вихідного рівняння, тобто нев'язка  являє собою результат підстановки точного розв’язку рівняння  у різницеве рівняння. Наприклад, рівняння  можна замінити таким найпростішим різницевим рівнянням

, .

Тоді нев'язка визначиться як .

Наближений розв’язок не збігається з , тому нев'язка  в -ій точці не дорівнює нулеві.

Чисельний метод апроксимує вихідне диференціальне рівняння, якщо  при , і має -й порядок точності, якщо .

Доведено, що порядок точності чисельного методу розв’язання диференціального рівняння збігається з порядком апроксимації при досить загальних припущеннях.

 

Метод Ейлера

Ознайомлення з чисельними методами розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку почнемо з вивчення методу Ейлера для задачі Коші

,                          (8.1)

.                          (8.2)

Відзначимо, що на практиці цей метод використовується рідко через невисоку точність, однак він є найпростішим з чисельних методів і на його прикладі зручно пояснити їх суть, способи побудови і дослідження.

Для розв’язання задачі потрібно знайти наближені значення  точного розв’язку  рівняння (8.1). Уведемо позначення . Припустимо, що розв’язок  задачі (8.1) — (8.2) у вузлі  відомий. Знайдемо розв’язок у наступному вузлі  . Використовуючи формулу Тейлора, одержимо

 (8.3)

Відзначимо, що похідну , що стоїть у правій частині, можна знайти, диференціюючи рівняння (8.1).

Підставимо у формулі (8.3)  , тоді

.     (8.4)

Припускаючи, що  на відрізку  обмежена, маємо . Однак використовувати формулу (8.4) незручно з таких міркувань:

1) вираз  може виявитися громіздким; 2) якщо права частина рівняння (8.1) відома лише приблизно, що часто має місце при розв’язанні технічних задач, знаходити її похідні небажано.

Якщо  має q -і неперервні похідні по сукупності аргументів, то в розкладанні (8.3) можна враховувати значення членів аж до

Відкидаючи в (8.4) величини другого порядку малості при  в порівнянні з кроком сітки , одержуємо формулу для обчислення наближеного значення  у вузлі  З огляду на те, що , виводимо розрахункову формулу методу Ейлера

.               (8.5)

Для чисельного розрахунку за формулою (8.5) досить знати . Потім, використовуючи (8.5), можна послідовно знайти значення розв’язку  відповідно в точках

                                            Рис. – 8.1

Геометрична інтерпретація методу Ейлера показана на рис. 8.1, де зображена множина інтегральних кривих рівняння (8.1). Використання тільки першого члена формули Тейлора рівносильне заміні інтегральної кривої на відрізку [ ] дотичною до неї в точці (). На кожному кроці заново визначається дотична, і, отже, траєкторія буде ламаною лінією. Тому метод Ейлера називають також методом ламаних.

При визначенні наближеного розв’язку задачі надзвичайно важлива оцінка похибки використовуваного методу. Розглянемо таку оцінку для методу Ейлера.

Припустимо, що початкова умова задана точно. При одержанні (8.5) у формулі Тейлора був відкинутий член, що містить .

На першому кроці, при обчисленні , отримана похибка , яка називається локальною похибкою, або похибкою на кроці.

На другому кроці  обчислюється за формулою . Величина , знайдена раніше, визначена наближено. Тому сумарна похибка на другому кроці  буде викликана не тільки заміною інтегральної кривої на відрізку  дотичною до неї, але і помилкою, допущеною на першому кроці.

Аналогічно сумарна похибка n -го кроку залежить не тільки від заміни інтегральної кривої на відрізку  дотичною, але і від помилок, допущених при обчисленні  (рис. 8.2). У випадку, коли початкова умова задана неточно, сумарна похибка на будь-якому кроці буде залежати і від похибки початкової умови (8.2).

Розглянемо похибку наближеного розв’язку , знайденого методом Ейлера (рис. 8.2).

Припустимо, що функція f(x, у) з (8.1) неперервна і має неперервні перші похідні в області зміни своїх аргументів. Віднімаючи (8.5) з (8.4), одержимо

   Використовуючи формулу Тейлора, з урахуванням того, що , одержуємо

.

Звідси .

                                  Рис. – 8.2

Отже, з точністю до величин більш високого порядку малості,

Таким чином,

.

Аналогічно

Продовжуючи цей процес, одержимо

(8.6)

Таким чином, похибка  на довільному кроці m виражається через похибку .

При малих  має місце така оцінка:

.

Аналогічно

.

Тут h(t) – кусково-лінійна функція, значення якої в кожному вузлі  дорівнює .

Підставляючи ці вирази у формулу (8.6), одержимо оцінку похибки на довільному кроці m:

(8.7)

Вона складається з двох доданків, перший з яких обумовлений похибкою  початкових даних. Якщо вони точні, =0, що і будемо припускати надалі.

Поява другого доданка пов'язана з відкиданням у рівності (8.5) залишкового члена формули Тейлора. Оцінимо цей доданок зверху.

Припустимо, що на відрізку , |  , | .

Тоді

, де       (8.8)

З нерівності (8.8) випливає твердження.

Якщо f(x,y) неперервна й обмежена в системі зі своїми першими похідними в області зміни своїх аргументів, то наближений розв’язок задачі (8.1) – (8.2), знайдений методом Ейлера, при  збігається до точного розв’язку рівномірно на обмеженому відрізку  із сумарною похибкою .

Отже, метод Ейлера має перший порядок точності.