Випадки використання кубічного сплайна

При побудові інтерполяційного кубічного сплайна найчастіше використовуються граничні (крайові) умови трьох типів. Вибір граничних (крайових) умов є однією з центральних проблем при інтерполяції функцій. Він особливо важливий за необхідності забезпечити високу точність апроксимації функції  сплайном  поблизу кінців відрізка . Граничні значення суттєво впливають на поведінку сплайна  поблизу точок а та b. Цей вплив швидко слабшає при відході від них.

Отже, якщо  (), , то кубічний сплайн на цьому відрізку можна представити формулою

Тут . Для їх визначення накладають умови неперервності другої похідної в точках  та обмеження на значення сплайна і його похідних на кінцях проміжку  - крайові умови. Тобто потрібна додаткова інформація про функцію, для якої є потреба в інтерполюванні.

Якщо на кінцях відрізка  відомі значення 1-ї похідної , то природно скористатися граничними (крайовими) умовами 1-го типу.

1 Граничні (крайові) умови 1-го типу. Якщо відомо, що , то для визначення  маємо систему рівнянь

(5.36)

Якщо на кінцях відрізка  відомі значення 2-ї похідної , то природно скористатися граничними (крайовими) умовами 2-го типу.

2 Граничні (крайові) умови 2-го типу. Якщо відомо

, то є система рівнянь

. (5.37)

Якщо є можливість вибору між граничними (крайовими) умовами 1-го та 2-го типів, то перевагу потрібно надати умовам 1-го типу.

У випадку, коли ніякої додаткової інформації про поведінку апроксимованої функції немає, часто використовують так звані природні граничні (крайові) умови .

Однак варто мати на увазі, що при такому виборі граничних (крайових) умов точність апроксимації функції  сплайном  поблизу кінців відрізка  різко знижується. Іноді користуються граничними (крайовими) умовами 1-го або 2-го типу, але не з точними значеннями відповідних похідних, а з їх різницевими апроксимаціями. Точність такого підходу невисока.

Практичний досвід розрахунків показує, що в такій ситуації найбільш доцільним є вибір природних граничних (крайових) умов. Якщо  - періодична функція, то потрібно зупинитися на граничних (крайових) умовах 3-го типу.

3 Граничні (крайові) умови 3-го типу. Якщо  - періодична функція , то  і система рівнянь має вигляд

 . (5.38)

Приклад реалізації алгоритмів інтерполяції функцій на псевдокоді

//розв’язує СЛАР методом Гауса

//M – матриця системи і вільні члени

//X – вектор відповідей

//n – кількість невідомих

linequ(M,n,e,X): 

//доступна в модулі naz.pas

End

//X – значення аргумента

//Y – значення функції

//xi – значення аргумента, для якого потрібно знайти значення

// функції

//h – крок

//змінні DY, D2Y і т.д. – скінченні різниці

//змінні SDY, SD2Y і т.д. – розділені різниці

//відшукуємо значення інтерполюючого многочлена при x=xi

Find_PX(X,Y,n,h):

1 n:=X.length;

2 for i:=1 to n do

3 DY[i]:=Y[i+1]-Y[i]

4 done

5 for i:=1 to (n-1) do

6 D2Y[i]:=DY[i+1]-DY[i]

7 done

8 for i:=1 to (n-2) do

9 D3Y[i]:=D2Y[i+1]-D2Y[i]

10 done

11 for i:=1 to (n-3) do

12 D4Y[i]:=D3Y[i+1]-D3Y[i]

13 done

14 for i:=1 to n do

15 SDY[i]:=Y[i+1]-Y[i]/(X[i+1]-X[i])

16 done

17 for i:=1 to (n-1) do

18 D2Y[i]:=SDY[i+1]-SDY[i]/(X[i+2]-X[i])

19 done

20 for i:=1 to (n-2) do

21 D3Y[i]:=SD2Y[i+1]-SD2Y[i]/(X[i+3]-X[i])

22 done

23 for i:=1 to (n-3) do

24 D4Y[i]:=SD3Y[i+1]-SD3Y[i]/(X[i+4]-X[i])

25 done

26 t:=(xi-X[1])/h

27 return X[1]+(t/factorial(1))*DY[1]+((t*(t-1))/factorial(2))*D2Y[1]+((t*(t-1)*(t-2))/factotrial(3))*D3Y[1]+((t*(t-1)*(t-2)*(t-3))/factorial(4))*D4Y[1];

End

//R­ – дані сплайна

//eps – точність обчислень

//xi – значення аргумента, при якому потрібно знайти значення функції     //

//відшукуємо значення кубічного сплайна в точці xi

Find_Spline(R,eps,xi)

1 linequ(R,R.length,1E-6,М)

2 k:=2

3 s31:=(X[k+1]-xi)*(X[k+1]-xi)*(2*(xi-X[k])+1)*Y[k]+(xi-X[k])*(xi-X[k])*(2*(X[k+1]-xi)+1)*Y[k+1]

4 s32:=(X[k+1]-xi)*(X[k+1]-xi)*(xi-X[k])*M[k]+(xi-X[k])*(xi-X[k])*(xi-X[k+1])*М[k+1]

5 return s31+s32

end