Збіжність процесу інтерполяції

Розглянемо послідовність сіток

w_n: a = x ₀ < x ₁ <…< x_{n -1} < x_n = b.

Кажуть, що інтерполяційний поліном  рівномірно збігається до заданої функції , якщо при max (x -x_{n -1}) ® 0 . Справедливі такі теореми.

Теорема Фабера. Для будь-якої послідовності сіток w_n знайдеться  така, що збіжність відсутня.

Теорема Марцинкевича. Для будь-якої функції знайдеться послідовність сіток

Приклад. Використовуючи інтерполяційний поліном Ньютона, визначити f(0.14), де y=f(x) задана таблично.

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
y	0	0.1002	0.2013	0.8045	0.4108	0.5211

Розв’язання. Складаємо таблицю скінченних різниць, користуючись пакетом Excel:

	A	B	C	D	E	F	G
1	x	y
2	0	0	=B3-B2	=C3-C2	=D3-D2	=E3-E2	=F3-F2
3	0,1	0,1002	=B4-B3	=C4-C3	=D4-D3	=E4-E3
4	0,2	0,2013	=B5-B4	=C5-C4	=D5-D4
5	0,3	0,3045	=B6-B5	=C6-C5
6	0,4	0,4108	=B7-B6
7	0,5	0,5211

У результаті отримаємо таке:

	A	B	C	D	E	F	G
1	x	y
2	0	0	0,1002	0,0009	0,0012	-0,0002	0,0001
3	0,1	0,1002	0,1011	0,0021	0,0010	-0,0001
4	0,2	0,2013	0,1032	0,0031	0,0009
5	0,3	0,3045	0,1063	0,0040
6	0,4	0,4108	0,1103
7	0,5	0,5211

Для розрахунку f(0.14) скористаємося інтерполяційним поліномом Ньютона, покладаючи, що x₀=0.1 та h =0.1; тоді q=(x-x₀)/h =(0,14-0,1)/0,1=0,4. Звідси за формулою визначаємо:

f(0.14) ≈0,1002+0,1011*0,4+0,0021*0,4*(-0,6)/2+ +0,1010*0,4*(-0,6)*(-1,6)/6 ≈ 0,1405, або у MS Excel у даному випадку, формула матиме такий вигляд: =B3+Q*C3+Q*(Q-1)*D3/ФАКТР(2)+Q*(Q-1)*(Q-2)*

*E3/ФАКТР(3), де Q - адреса комірки із розрахованим значенням q.

При цьому похибка наближення дорівнює R4=|f(0.14)-P₃(0.14)| <0.0001*0.4*0.6*1.6*2.6/4!= 4.16*10-6, або у MS Excel =ABS(F3*Q*(Q-1)*(Q-2)*(Q-3))/ФАКТР(4).

 

Інтерполяція за допомогою сплайн ів

Підвищення точності інтерполювання вимагає збільшення вузлів інтерполяції. Це призведе до зростання степеня інтерполяційних многочленів. Але в умовах відсутності додаткової інформації про задану таблично функцію останні дають досить значну похибку. На практиці рідко проводять інтерполяцію поліномами степенів вище третього, тому що, по-перше, вони дають значні похибки й, по-друге, при нескінченному збільшенні порядку n інтерполяційного полінома Р_n(х) послідовність P_n не є збіжною (відповідно до теореми Фабера). Цей факт уперше виявив Рунге в 1901 р. В цьому випадку більш ефективним є використання сплайнів, що на проміжку між вузлами інтерполювання є поліномами невисокого степеня. На всьому проміжку інтерполяції  сплайн - це функція, що склеєна з різних частин поліномів. Отже, розглянемо на відрізку  систему вузлів . Сплайном  називається функція, що визначена на , має на ньому неперервні похідні  порядку і на кожному частковому відрізку  збігається з деяким многочленом степеня не вище . При цьому хоча б на одному з відрізків степінь многочлена дорівнює . Якщо , маємо інтерполюючий сплайн. Визначити сплайн можна також так.   Поліноміальним сплайном порядку m та дефекту k називається функція S_m,k(x) на сітці a=x₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b   така, що:

1) кожному проміжку ;

2) число k називається дефектом сплайна, якщо , 0<k<m;

3) розглянемо сплайн дефекту 1. S_m,1 = S_m. Інтерполяційним сплайном називається S_m(x), якщо S_m(x_i)=y_i, i = 0, 1, …, n.