Метод Зейделя розв’язання СЛАР

Метод простої ітерації досить повільно збігається. Для його прискорення існує метод Зейделя. Суть його в тому, що при обчисленні компонентів х_і^(к+1) вектора невідомих на (k+1)- ій ітерації використовуються х₁^(к+1), х₂^(к+1),...,х_і-1^(к+1), уже обчислені на (k+1)- ій ітерації. Значення інших компонентів беруться з попередньої ітерації. Так само, як і у методі простих ітерацій, будується еквівалентна СЛАР (3.26) і за початкове наближення береться вектор правих частин X⁰=(β₁,β₂,…, β_n)^*.

Тоді метод Зейделя для пошуку наближення Х^(к+1) має вигляд

Із цієї системи бачимо, що Х^k+1 =β+ BХ^k+1 + CХ^k, де В - нижня трикутна матриця з діагональними елементами, що дорівнюють нулю, а C - верхня трикутна матриця з діагональними елементами, відмінними від нуля, α=В+С. Отже,               ,

 звідки        .

Таким чином, метод Зейделя є методом простих ітерацій з матрицею правих частин =(E-B)^-1C і вектором правих частин (E-B)^-1β, й, отже, збіжність і похибку методу Зейделя можна досліджувати за допомогою формул, виведених для методу простих ітерацій, у яких замість матриці  підставлена матриця (E-B)^-1C, а замість вектора правих частин - вектор (E-B)^-1β. Для практичних обчислень важливо, що як достатні умови збіжності методу Зейделя можуть бути використані умови, наведені вище для методу простих ітерацій (  або, якщо використовується еквівалентна СЛАР у формі (3.1), -діагональна перевага матриці А). У випадку виконання цих умов для оцінки похибки на k -ій ітерації можна використати вираз

.

Відзначимо, що, як і метод простих ітерацій, метод Зейделя може збігатися й при порушенні умови .

Приклад. Методом Зейделя розв’язати СЛАР із попереднього прикладу.

Розв’язання. Діагональна перевага елементів вихідної матриці СЛАР гарантує збіжність методу Зейделя.

Ітераційний процес будуємо в такий спосіб:

Таким чином, уже на другій ітерації похибка , тобто метод Зейделя в цьому випадку збігається швидше ніж метод простих ітерацій.

Приклад. Розв’язання СЛАР Ax =b, отримане за допомогою вбудованої функції lsolve (пакет Mathcad).

Перевірка достатньої умови збіжності методу Зейделя

Достатня умова виконана.

Перетворення системи Ax=b  до вигляду x=Bx+c, зручного для ітерацій.

 - нумерація масивів починається з одиниці.

 

Алгоритм метод у Зейделя

       Вхідні параметри: B та c - матриця B та вектор правої частини c системы x=Bx+c; n - порядок матриці B;

k - число ітерацій; x0 - вектор початкового наближення.

Функція zeid повертає двовимірний масив розмірності kxn; i-й рядок  якого – це  i-е наближення.

 

 

Результат роботи функції zeid - 10 перших наближень