Формули чисельного диференціювання

Розглянемо найпростіші формули чисельного диференціювання, що виводяться зазначеним способом.

Зупинимося на функції, що задана в рівновіддалених вузлах . Її значення і значення похідних у вузлах будемо позначати

Нехай функція задана в двох точках  і   її значеннями є  

Побудуємо інтерполяційний многочлен першого степеня  Похідна

Похідну функції  в точці  приблизно заміняємо похідною інтерполяційного многочлена

                         (6.4)

Величина  називається першою різницевою похідною.

Нехай тепер  задана в трьох точках  Інтерполяційний многочлен Ньютона другого степеня має вигляд

Тоді  

 

Одержуємо наближену формулу

                (6.5)

Величина  називається центральною різницевою похідною. Нарешті, для другої похідної

одержуємо наближену формулу 

                    (6.6)

Величина  називається другою різницевою похідною.

Формули (6.4)-(6.6) називаються формулами чисельного диференціювання.

Вважаючи функцію  достатнє число разів неперервно диференційованою, одержимо похибки наближених формул (6.4)-(6.6). Надалі нам знадобляться такі леми.

Лема 1 Нехай   довільні точки,  Тоді існує така точка   що

Доведення. Очевидна нерівність

За теоремою Больцано-Коши про проміжні значення неперервної функції на замкненому відрізку, вона набуває всіх значень між  і  Значить, існує така точка  що стверджує зазначену в лемі рівність.

Лема 2

1 Припустимо, що  Тоді існує така точка , що

   (6.7)

2 Якщо  то є така точка , що

      (6.8)

 3  Коли  то є точка  така, що

(6.9)

Доведення. Розглянемо розкладання                                                                               Доведення. За формулою Тейлора

звідки випливає (6.4). Якщо  то за формулою Тейлора

(6.10)

де

Підставимо (6.10) у вираз  Одержимо

Заміняючи відповідно до леми 1

одержуємо 

Звідки і випливає (6.9). Рівність (6.8) доводиться аналогічно. Формули (6.4)-(6.6) називаються формулами чисельного диференціювання із залишковими членами.

Похибки формул (6.4)-(6.6) оцінюються за допомогою наступних нерівностей, що випливають із співвідношень (6.7)-(6.9):

Вважають, що похибка формули (6.4) має перший порядок відносно , а похибка формул (6.5) і (6.6) другого порядку відносно  (чи порядку ). Також говорять, що формула чисельного диференціювання (6.4) першого порядку точності (відносно ), а формули (6.5) і (6.6) мають другий порядок точності.

Зазначеним способом можна одержувати формули чисельного диференціювання для старших похідних і для більшої кількості вузлів інтерполяції.

Для вибору оптимального кроку припустимо, що границя абсолютної похибки при обчисленні функції  в кожній точці задовольняє нерівність

                         (6.11)

Нехай у деякому околі точки  похідні, через які виражаються залишкові члени у формулах (6.8), (6.9), неперервні і задовольняють нерівності

      (6.12)

де  - деякі числа. Тоді повна похибка формул (6.5), (6.6) (без урахування похибок округлення) відповідно до (6.8), (6.9), (6.11), (6.12) не перевершує відповідно величин          

Мінімізація за  цих величин приводить до таких значень кроків:  при цьому

  (6.13)

Якщо при обраному для будь-якої з формул (6.5), (6.6) значенні  відрізок  не виходить за окіл точки , у якому виконується нерівність (6.12), то знайдене  є оптимальним і повна похибка чисельного диференціювання оцінюється відповідною величиною (6.13).