Таблицею доречно користуватися, якщо значення нашої функції носять монотонний характер.

Приклад. Функція y=f(x) задана таблицею значень   у точках . Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен  найкращого середньоквадратичного наближення оптимального степеня m=m*. За оптимальне значення m* прийняти той степінь многочлена, починаючи з якого стабілізується або починає зростати.

    Порядок розв’зання задачі:

1 Задати вектори x та y вихідних даних.

2 Використовуючи функцію mnk, знайти многочлени Pm, m=0,1,2,..., за методом найменших квадратів. Обчислити відповідні їм значення .

3 Побудувати гістограму залежності  від m, на підставі якої вибрати оптимальний степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.

4 На одному кресленні побудувати графіки многочленів Pm, m=0,1,2,..., m* і точковий графік вихідної функції.

Вектори вихідних даних:

  Функція mnk, що будує многочлен степеня m за методом найменших квадратів, повертає вектор a коефіцієнтів многочлена:

 - формуються вектор правих частин та матриця нормальної системи Гa=b методу найменших квадратів (базисні функції - 1, x, ,х²...,х ^m);

- lsolve(Г,b) – вбудована функція MATHCAD, що розв’язує систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Вхідні параметри:

  x, y - вектори вихідних даних; n+1 - розмірність x,y.

Обчислення коефіцієнтів многочленів степеня 0,1,2,3 за методом найменших квадратів:

 

Функція P повертає значення многочлена степеня m у точці t; многочлен задається за допомогою вектора коефіцієнтів a:

Функція  повертає значення середньоквадратичного відхилення многочлена P(a,m,t):

 

Обчислення значень ,m=0,1,2,3:

Гістограма

Висновок: оптимальний степінь m*=2; многочлен найкращого середньоквадратичного наближення: P2(x)=-1.102+1.598x+0.717

Графіки многочленів степеня 0,1,2 і точковий графік вихідної функції:

Приклад реалізації методу найменших квадратів на псевдокоді.

Нехай за допомогою зазначеного вище методу ми знайшли вигляд рівняння регресії

, отже .

Значення невідомих коефіцієнтів

.

Очевидно, що процедура, яка знайде розв’язки, буде простішою, якщо ми домовимося, що функції, що обчислюють відповідні суми, нами вже реалізовані:

//обчислення коефіцієнтів регресійної формули.

//X,Y – задані в умові масиви; a1,a0 – шукані коефіцієнти

//n – кількість заданих пар x,y в умові

Metod_Kvadr(n,X,Y,a1,a0):

1 a1:=(yixi(X,Y,n)-1/N)*yi(Y,n)*yi_na_1(X,n))/(yi_na_1_kw(X,n)-(1/n)*pow(yi_na_1(X,n),2));

2 a0:=(1./n)*(yi(Y,n)-a1*yi_na_1(X,n));

End

 

 

Питання і завдання до розділу 5

1 Постановка задач наближення функцій.

2 Метод найменших квадратів. Виведення нормальної системи методу найменших квадратів.

3 Обумовленість нормальної системи.

4 Вибір оптимального степеня апроксимуючого многочлена.

5 Поліноміальна інтерполяція. Многочлен у формі Лагранжа.

6 Многочлен у формі Ньютона.

7 Похибка інтерполяції.

8 Глобальна інтерполяція. Кусочно-поліноміальна інтерполяція. Вибір вузлів інтерполяції.

9 Інтерполяція із кратними вузлами.

10 Мінімізація оцінки похибки інтерполяції.

11 Інтерполяція сплайнами. Визначення сплайна. Лінійний сплайн.

12 Побудова кубічного сплайна.

13 Види граничних умов при побудові сплайнів.

14 обудова параболічного сплайна.

15 нтерполяція функції двох змінних.

16 Вивести нормальну систему методу найменших квадратів для визначення коефіцієнтів  функції:
 a) ; b) .

17 Використовуючи метод найменших квадратів, апроксимувати на відрізку  функцію многочленом першого степеня. Обчислити величину середньоквадратичного відхилення.

18 Побудувати інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа й у формі Ньютона для функції , заданої таблицею значень.

a)	x	-1	0	1	b)	x	1	2	4
	y	3	2	5		y	3	4	6

19 Обчислити , знаючи значення  та .

20 Побудувати кусково-лінійну інтерполяцію функції  за вузлами –1, 0, 1.

21 Функція наближається на відрізку  інтерполяційним многочленом за значеннями в точках . Оцінити похибку інтерполяції на цьому відрізку.

22 З яким постійним кроком h потрібно скласти таблицю функції  на відрізку , щоб похибка лінійної інтерполяції не перевищувала ?

23 Для таблично заданих функцій

a)	x	-1	0	1	2	b)	x	1	2	4	5
	y	3	2	5	1		y	3	4	6	5

         побудувати лінійний і параболічний  сплайни.

24 Функція y=y(x) задана таблицею своїх значень:

x	-1	0	1	2
y	1.8	2.4	2.2	2

Побудувати многочлени нульового й першого степенів, що наближають функцію за методом найменших квадратів. Обчислити величину середньоквадратичного відхилення. Побудувати на одному кресленні точковий графік функції й графіки многочленів.

25 Побудувати інтерполяційні многочлени у формі Лагранжа й Ньютона, що наближають функцію y=y(x), задану таблицею своїх значень. Порівняти результати.

x	0	2	4
y	3	0	2

26 Функція у=y(x) задана таблицею своїх значень:

x	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1
y	0.75	1.1	1.35	1.25	1.05	0.8

Запропонувати способи інтерполяції для знаходження значень функції в точках x =0.24,0.5, 0.96.

27 Відновити многочлен  за його значеннями:

	1	2	3
	2	8	16

28 Функція  задана таблицею своїх значень:

	0	1	2	3
	1	2	4	8

Обчислити наближено значення функції в точці  за допомогою інтерполяційного многочлена другого ступеня: а) у формі Лагранжа; б) у формі Ньютона (зі скінченними різницями). Оцінити похибку інтерполяції.

29 Функція  задана таблицею своїх значень:

	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
	0.302	0.458	0.629	0.811	1.002

Обчислити приблизно значення функції в точці  за допомогою інтерполяційного многочлена у формі Ньютона (з розділеними різницями). Обчислити похибку інтерполяції.

30 Функція  задана таблицею своїх значень:

	0	1	2
	1	4	6

Побудувати природний інтерполяційний кубічний сплайн дефекту 1.

31 Відомо, що апроксимуюча функція має вигляд , де a й b – невідомі параметри. Використовуючи метод найменших квадратів, визначити a й b, якщо відомо таблицю значень функції:

	0.1	0.2	0.5
	10.22	5.14	2.76

32 Вивести систему рівнянь для визначення коефіцієнтів a й b функції , що здійснює середньоквадратичну апроксимацію таблично заданої функції y(x) в n +1 точках.  

33 Функція  наближається інтерполяційним многочленом за значеннями в точках x =0, , . Оцінити похибку інтерполяції на відрізку .

34 З яким кроком варто задати таблицю логарифмів на відрізку [1,10], щоб при квадратичній інтерполяції значення в проміжній точці відновлювалося з похибкою 0.001?

 

 

Розділ 6

Чисельне диференціювання

 

Чисельне диференціювання застосовується, якщо функцію f (x) важко чи неможливо продиференціювати, наприклад, якщо вона задана таблично. Воно також необхідне при розв’язанні диференціальних рівнянь за допомогою різницевих методів. Якщо маємо явний вигляд функції, то вираз для похідної часто виявляється досить складним і бажано його замінити більш простим. Якщо ж функція задана тільки в деяких точках (таблично), то одержати явний вигляд її похідних взагалі неможливо. У цих ситуаціях виникає необхідність наближеного (чисельного) диференціювання.      

При чисельному диференціюванні функцію f (x) апроксимують функцією , що легко обчислюється, і вважають, що у'(x)= . При цьому можна використовувати різні способи апроксимації. Розглянемо найпростіший спосіб – апроксимацію інтерполяційним многочленом Ньютона.

Щоб побудувати формули чисельного диференціювання, задану на відрізку [a; b ] функцію   замінюють відповідним інтерполяційним многочленом Р(х). Tоді

f(x)=P(x) + R(x;f),             (6.1)

де R(x;f) — залишковий член інтерполяційної формули. Якщо функція , то, диференціюючи (6.1), знаходимо

            f'(х) =Р'(х) + R'(x,f),

                f'' (х) =Р''(х) + R'' (x,f),

                  ……………………….

                f^(k)(x)=P^(k)(x)+R^(k)(x;f).

Звідси отримуємо наближення

f' (x) ≈ P'(x), f''(x) ≈  Р''(х),...., f^(k)(x)= P^(k)(x),   (6.2)

Тоді залишкові члени r_i (х) (i =1,2,..., k) формул чисельного диференціювання (6.2 ) дорівнюватимуть похідним від залишкового члена інтерполяційної формули (6.1),тобто

r_i (х)= f ^(і) (х)- Р^(і)(х).                 (6.3)

Варто зазначити, що з малості залишкового члена інтерполяційної формули R (x; f) зовсім не випливає малість залишкових членів похідних (похибки чисельного диференціювання) r_i (х), бо похідні від малих функцій можуть бути досить великими. Наприклад, функції y ₁ (x)= f (x) i y ₂ (х)= f (x) + для великих значень n можуть відрізнятися між собою як завгодно мало

Але похідні від них для деяких значень х i великих значень п можуть значно відрізнятися між собою:

,

Звідси бачимо, що не існує неперервної залежності значень похідної від значень функції. Тому задача чисельного диференціювання, загалом кажучи, - менш точна операція порівняно з інтерполюванням і є некоректною задачею.

 

 

 

 

                          Рис. – 6.1.

На рис. 6.1 в точці x₁ ординати функції f i многочлена Р однакові, проте кутові коефіцієнти дотичних значно відрізняються.

Якщо інтерполяційний многочлен Р на певній ділянці з достатньою точністю наближає функцію f, а сама функція f досить гладка i змінюється плавно на цій ділянці, то можна сподіватися, що при досить малому кроці інтерполювання похідні інтерполяційного многочлена також мало відрізнятимуться від похідних функції f. Проте не варто забувати, що зі зростанням порядку похідної точність чисельного диференціювання здебільшого різко спадає. Тому на практиці формули чисельного диференціювання для похідних, вищих від другого порядку, застосовують досить рідко.

Отже, функцію  треба продиференціювати кілька разів і знайти ці похідні в  деякій точці.