Поняття про наближення функцій

Нехай величина у є функцією аргумента х. Це означає, що будь-якому значенню х з області визначення поставлено у відповідність значення у. Разом з тим на практиці часто невідомий явний зв'язок між у та х, тобто неможливо записати цей зв'язок у вигляді деякої залежності y=f(x). У деяких випадках навіть при відомій залежності y=f(x) вона настільки громіздка (наприклад, містить вирази, що важко обчислюються, складні інтеграли і т.п.), що її використовувати в практичних розрахунках важко.

Найбільш поширеним і практично важливим випадком, коли вигляд зв'язку між параметрами х та у невідомий, є його завдання у вигляді деякої таблиці {x_i, y_i}. Це означає, що дискретній множині значень аргумента {x_i} поставлена у відповідність множина значень функції {y_i} (i=0,1,…,n). Ці значення - або результати розрахунків, або експериментальні дані. На практиці нам можуть знадобитися значення величини у і в інших точках поза вузлами x_i. Однак одержати ці значення можна лише шляхом дуже складних розрахунків або проведенням дорогих експериментів.

Таким чином, з огляду економії часу і засобів ми приходимо до необхідності використання наявних табличних даних для наближеного обчислення невідомого параметра у при будь-якому значенні (з деякої області) визначального параметра х, оскільки точний зв'язок y = f(x) -  невідомий.

Цій меті підпорядкована задача про наближення (апроксимацію) функцій: задану функцію f(x) потрібно приблизно замінити (апроксимувати) деякою функцією F(x) так, щоб відхилення (у деякому змісті) F(x) від f(x) у заданій області було найменшим. Функція F(x) при цьому називається апроксимуючою.

Апроксимуючими функціями можуть бути поліноміальні, тригонометричні, експонентні та ін.

Якщо наближення будується на заданій дискретній множині точок {x_i}, то апроксимація називається точковою. До неї належать інтерполяція, середньоквадратичне наближення та ін. При побудові наближення на неперервній множині точок (наприклад, на відрізку [a,b]) апроксимація називається неперервною (або інтегральною).

Одним із основних типів точкової апроксимації є інтерполяція. У цьому випадку апроксимуюча функція проходить через задані вузлові точки. Іноді наближення табличних даних методом інтерполяції проводити незручно. Так, наприклад, якщо дані в таблиці неточні, то збіг значень інтерполяційної функції у вузлах з табличними даними означає, що вона точно повторює помилки таблиці. У таких випадках використовують інші види апроксимації, наприклад, метод найменших квадратів. Цим методом апроксимуюча функція будується так, щоб сума квадратів відстаней від ординат точок до лінії графіка апроксимуючої функції для однакових абсцис була найменшою.

 

Iнтерполювання функції

 

Загальна постановка задачі інтерполювання така. Задані значення  функції аргумента  при відповідних його значеннях . Побудувати неперервну функцію , що належить до заданого класу функцій, таку, що вона збігається з  при значеннях аргумента . Така функція називається інтерполюючою. Точки x_i, i=1,…,n називаються вузлами інтерполяції і вони утворюють сітку розбиття ,а y_i - вузловими значеннями.

У такому формулюванні розв'язок задачі є невизначеним, бо крізь задані точки можна провести безліч кривих. Тому загальну постановку дещо звужують, задаючи не тільки клас інтерполюючої функції, але й додаткову умову мінімальної її складності.

Наприклад, для найбільш поширеного поліноміального інтерполювання (при якому інтерполююча функція обирається серед поліномів аргумента ), додатковою умовою є мінімальний порядок інтерполюючого полінома. З цього випливає, що якщо первісну функцію задано лише двома точками, її треба інтерполювати поліномом першого порядку (через дві задані точки проходить єдина пряма), якщо трьома - параболою другого порядку і так далі. Взагалі функція, задана своїми  значеннями (у  точках), інтерполюється однозначно поліномом -го порядку, тобто таким

. (5.1)

Тепер задача інтерполювання звелася до пошуку значень  невідомих коефіцієнтів полінома (5.1) з умови набуття ним значень  при значеннях аргумента .

Існують кілька способів визначення цих коефіцієнтів. Вони відрізняються методикою обчислень, зручною в одних і незручною в інших випадках. Але при ідеальних обчисленнях вони, природно, призводять до тих самих результатів, тобто до того самого полінома.

Інтерполювання за Лагранжем

 

За цією методикою попередньо визначають допоміжні поліноми -го порядку  такі, що

.               (5.2)

Тобто кожен із них набуває значення 1 тільки при , а для решти заданих значень аргумента він дорівнює нулю. Такі поліноми одержали назву лагранжевих коефіцієнтів, або множників впливу відповідних вузлів інтерполювання.

Щоб виконувалася перша умова (5.2), поліном  повинен мати такий вигляд

, (5.3)

тобто добутку  різниць між поточним значенням аргумента й одним із заданих, окрім -го, з деяким коефіцієнтом . Друга умова (5.2) дозволяє визначити цей коефіцієнт . Для цього в (5.3) слід покласти  і прирівняти результат до одиниці. З цього матимемо

.

Враховуючи це, одержимо остаточний вигляд допоміжного полінома

.(5.4)

Тепер шуканий інтерполюючий поліном можна подати у вигляді

+ .                           (5.5)

Це і є інтерполяційний поліном Лагранжа степеня . Кількість арифметичних операцій для його обчислення дорівнює . Інтерполювання за Лагранжем зручно використовувати тоді, коли ведеться багаторазове інтерполювання різних функцій за однакових значень масиву аргументів. Тоді можна заздалегідь одноразово обчислити коефіцієнти Лагранжа, оскільки вони не залежать від функції, що інтерполюється.

Розглянемо деякі часткові випадки.

Лінійна інтерполяція

У цьому разі маємо  два вузли інтерполяції. Інтерполяційний поліном Лагранжа має вигляд:

(5.6)

Квадратична інтерполяція

У цьому випадку є три вузли інтерполяції (). Інтерполяційний поліном Лагранжа набирає вигляду:

 

(5.7)

Інтерполювання за Ньютоном

 

Недоліком інтерполювання за Лагранжем є те, що якщо для поліпшення наближення додати ще один вузол інтерполювання, доведеться всі обчислення проводити заново.

На практиці часто трапляються випадки, коли вузли інтерполяції стають відомими не одразу, а поступово, один за одним, наприклад, у процесі вимірювання. Тоді зручно побудувати процес інтерполювання у такий спосіб, щоб поява даних про новий вузол інтерполювання, призводила б до необхідності мінімального перерахунку попередніх обчислень. Саме таку властивість має інтерполювання за Ньютоном.

Нехай вузли інтерполяції рівновіддалені один від одного за аргументом, тобто виконується умова

;           (). (5.8)

Різниці

                    (5.9)

називають скінченними різницями першого порядку. Різниці сусідніх скінченних різниць першого порядку

  (5.10)

називають скінченними різницями другого порядку. Аналогічно

                 (5.11)

є скінченними різницями -го порядку. Вони визначаються за формулою    де -біноміальні коефіцієнти.

Розглянемо поліном

. (5.12)

Визначимо його коефіцієнти. Коефіцієнт  визначимо з умови проходження полінома через першу точку ()

.                             (5.13)

З умови проходження полінома через точку () одержимо значення

; .  (5.14)

Аналогічно визначається решта коефіцієнтів

.                          (5.15)

Підставляючи отримані вирази у (5.12), одержуємо

.    (5.16)

Це є перша інтерполяційна формула Ньютона (формула інтерполювання вперед).

Як бачимо, особливостями інтерполювання за Ньютоном є:

n при появі нового вузла додається лише новий член, решта не перераховується;

n коефіцієнти швидко зменшуються зі зростанням , бо у знаменнику міститься факторіал від .

Іноді використовується формула для інтерполювання назад

.

Візьмемо деяку функцію f(x) R і систему вузлів інтерполяції , ,  при і j. Вузли інтерполяції не є рівновіддаленими. Для цієї функції і вузлів утворимо відношення

.

Вони називаються розділеними різницями першого порядку. Одержавши їх, ми можемо утворити нові відношення

…,

Вони називаються розділеними різницями другого порядку. Взагалі, якщо ми уже визначили розділені різниці k- го порядку ,то розділені різниці (k+1)-го порядку знаходяться за допомогою формули

 .

Іноді замість  для позначення розділених різниць використовують позначення .

Домовимося розміщувати таблиці розділених різниць у такий спосіб:

При  скінченні і розділені різниці пов'язані співвідношенням у вигляді

Розділені різниці порядку n від многочлена n- го степеня постійні, а різниці більш високого порядку дорівнюють нулю. Останнім зауваженням можна скористатися для виявлення помилок у таблицях многочленів чи функцій, близьких до них.     

За допомогою розділених різниць можна побудувати інтерполяційний многочлен Ньютона

  

Варто зазначити, що при збільшенні кількості вузлів процес обчислення скінченних та поділених різниць стає все більш обчислювально нестійким - похибка визначення скінченних різниць великого порядку різко зростає зі збільшенням порядку скінченної різниці. Тому метод Ньютона може бути застосований лише для невеликої кількості вузлів.

 

Інтерполювання за Ермітом

 

У більш загальному випадку потрібно, щоб у вузлах інтерполяції збігалися не лише значення інтерполюючої функції і функції, яку необхідно інтерполювати, але й значення їхніх похідних до деякого порядку. У цьому випадку застосовують інтерполювання за Ермітом.

Інтерполяційним поліномом Ерміта -го порядку називають поліном  аргумента , який визначається з умов

; ;

; ;. ;            

...........             (5.17)

; ;. ;

.....   ......

; ; .

Тут, як і раніше,  - кількість вузлів інтерполяції.

Якщо у вузлі  поліном і функція, яка інтерполюється, збігаються до похідної порядку , то число  називається кратністю вузла . При цьому .

Інтерполяційний поліном Ньютона (5.12) узагальнюється на випадок кратних вузлів таким чином:

 (5.18)

Інтерполювання за Ермітом зводиться до визначення  коефіцієнтів , ,...,   з умов (5.17).