Загальна схема розв’язання задач чисельного аналізу. Апроксимація, стійкість, збіжність

Більшість задач чисельного аналізу в загальному вигляді можна записати у вигляді рівняння

 y=F(x),                          (1.11)

де F:XàY ¾ деякий оператор, що задає відображення метричного простору Х у метричний простір У(дивись Додаток 1.1).

Загальний підхід, що реалізується в наближених методах розв’язання таких задач, полягає в заміні рівняння (1.11) близьким йому, простішим (як правило, скінченновимірним) рівнянням                                

у_n=F_n(x_n).                        (1.12)

Тут F_n:X_n à Y_n – оператор, що відповідає вихідному оператору F. При цьому елементи x_n є X_n та y_n є Y_n розглядаються як образи елементів x є X та y є Y. Цей роз’язок можна визначити через відповідні оператори

x_n= j (x), y_n= y (y).                (1.13)

Як відомо, заміна одних математичних об’єктів іншими, чимось близькими до них, називається апроксимацією.

Визначення 1 Рівняння

  F_n(x_n)= y n(y)                      (1.14)

апроксимує рівняння 1.11 (оператор F_n апроксимує F), якщо для будь-яких елементів х з D(F) Í X міра апроксимації

  r _yn (F_n(j _n (x)), y _n (F(x))) ® 0, коли n àµ. (1.15)

(Тут r _yn (a, b)) визначає метрику, тобто відстань між елементами a, b Î Y_n).

Щоб можна було порівнювати якість різних моделей вигляду (1.14) для задачі (1.11), користуються поняттям порядку апроксимації. Ця характеристика пов’язує прямування до 0 міри апроксимації (1.15) з порядком зменшення деякої залежної від n малої величини, наприклад, кроку апроксимації.

Будемо вважати, що розв’язки х* Î Х, та  рівнянь відповідно (1.11) та (1.14) існують і єдині. Наближеним розв’язком задачі (1.11) вважається елемент , де  обернене до  відображення .

Головним питанням будь-якої теорії наближених методів розв’язання задач вигляду (1.11) є питання про те, чи можна наближеним розв’язком х⁽ⁿ⁾ як завгодно добре відобразити поведінку точного розв’язку х*. Це питання про збіжність х⁽ⁿ⁾ до х*.

Визначення 2 Має місце збіжність наближеного розв’язку х⁽ⁿ⁾ до точного розв’язку х* рівняння (1.11), якщо

                    .

Наявність фактичних оцінок величин  дозволяє не тільки робити висновки про збіжність наближених розв’язків, але і визначати похибки отриманих наближень до розв’язку.

Питання про збіжність розв’язків у⁽ⁿ) до у* тісно пов’язане з тим, чи можна надійно розв’язати спрощену задачу (1.14). Адже спрощена задача також розв’язується наближено. Покращання якості апроксимації шляхом зменшення її міри (1.15) спричинює збільшення розмірності n для задачі (1.14), а отже, збільшення об’єму обчислень, що може призвести до збільшення обчислювальних похибок.

Визначення 3 Обчислювальний процес називається стійким, якщо малі похибки вхідних даних викликають малі похибки результатів.

 

 Питання і завдання до розділу 1

 

1 Джерела й класифікація похибок. Наближені числа. Абсолютна й відносна похибки. Правильні й значущі цифри. Способи округлення.

2 Подання чисел в ЕОМ. Машинний нуль, машинна нескінченність, машинний іпсилон. Алгоритми обчислення.

3 Похибки арифметичних операцій над наближеними числами.

4 Похибки обчислення функцій однієї та декількох змінних.

5 Похибки обчислення неявно заданої функції.

6 Числа  задані наближено:
, ,  Відомо, що , , . Записати ці числа з усіма правильними знаками.

7 Наближене число a містить 5 правильних цифр. Що можна сказати про відносну похибку числа a?

8 З якою відносною похибкою потрібно знайти наближене значення числа a, щоб правильними виявилися 5 значущих цифр?

9 Для наближених чисел a та b (a>b>0) відомо, що (a)= (b)= . Оцінити похибки:
 а)  (a+b), b), (a-b), c) (a*b), d) (a/b).

10 Числа a та b задані наближено: , , . Оцінити похибки:
 a)різниці , b) добутку .
Записати відповідь з урахуванням правильних цифр.

11 Визначити правила оцінки абсолютних і відносних похибок функцій

 a) ; b) c) .

12 Функція   обчислюється при значеннях , , . Знайти значення  . Записати результат з усіма правильними цифрами.

13 Коефіцієнти  обчислюються з відносною похибкою (a)= (b)= (с)= . Знайти максимальну похибку, з якою можуть обчислюватися корені рівнянь: a) ; b) .

14 Функція  обчислюється при значеннях , , . Визначити при яких значеннях   відповідь буде містити 3 правильні цифри.

Розділ 2