Стійкість різницевих методів

Уведемо поняття стійкості різницевого методу. Для цього розглянемо різницеве рівняння багатокрокового методу

 ,   . (8.34)

Однорідне різницеве рівняння, що відповідає (8.34), має вигляд

 .                                (8.35)

Вважають, що рівняння (8.35) є стійким за початковими даними, якщо існує постійна , що не залежить від , така, що при будь-яких початкових даних  здійснюється нерівність

                           ,  .

Питання стійкості за початковими даними вирішується шляхом розгляду коренів так званого характеристичного рівняння, одержуваного з (8.35), якщо розв’язок цього рівняння шукати у вигляді  . Підставляючи таке  в (8.35) і скорочуючи на  , одержимо характеристичне рівняння для визначення

       .           (8.36)

Теорема 1 Для стійкості рівняння (8.35) за початковими даними необхідно і достатньо, щоб виконувалася так звана умова коренів: усі корені  характеристичного рівняння знаходилися всередині або на границі одиничного кола комплексної площини, причому на границі не повинно бути кратних коренів.

Теорема 2 Нехай , умова коренів виконана,  при , , і різницеве рівняння (8.34) апроксимує вихідне диференціальне рівняння (8.1). Тоді розв’язок різницевої задачі (8.34) збігається при  до розв’язку вихідної задачі (8.1).

Інакше кажучи, з апроксимації і стійкості за початковими даними випливає збіжність на обмеженому відрізку .

Сформульована умова стійкості, що базується на аналізі розміщення коренів характеристичного рівняння (8.36), є досить загальною. Конкретизуємо питання про стійкість різницевого рівняння стосовно до асимптотично стійких розв’язків рівняння (8.1). Нехай , , тобто

                               .                          (8.37)

Розв’язок цього рівняння асимптотично стійкий, тобто для будь-яких  справедлива оцінка

                             .                      (8.38)

Логічно вимагати, щоб і різницеве рівняння давало розв’язок, що задовольняє властивість (8.38). Використовуючи явний метод Ейлера першого порядку апроксимації, одержимо різницевий аналог (8.37)

                    ,       , (8.39)

або                        , тобто  .

Оцінка (8.38) буде виконана для (8.39) лише за умови , оскільки тоді  . З  випливає обмеження на крок :  .

Різницевий метод (8.34) називається абсолютно стійким, якщо стійкість має місце при будь-яких , й умовно стійким, якщо вона може бути забезпечена тільки введенням обмежень на крок .

Як приклад абсолютно стійкого методу традиційно розглядається неявний метод Ейлера, що має перший порядок апроксимації

          .             (8.40)

З (8.40) випливає , тобто  завжди, при будь-яких .

Умовна стійкість приводить до необхідності вибирати малі значення кроку , що є недоліком явного методу. Неявний метод, позбавлений даного обмеження, має інший досить істотний недолік, обумовлений необхідністю розв’язувати на кожному кроці алгебраїчне рівняння (або систему рівнянь, у загальному випадку нелінійних).

Запишемо різницеві рівняння (8.34) для задачі (8.37)

 ,  ,(8.41)

де   - у загальному випадку комплексний параметр.

Характеристичне рівняння для (8.41) має вигляд

 .               (8.42)

При малих   корені (8.42) близькі до коренів (8.35).

Областю стійкості методу (8.34) називається множина точок комплексної площини , для яких метод, що застосований до рівняння спеціального вигляду (8.37), є стійким.

Для явного методу Ейлера умова стійкості  при комплексному  виглядає в такий спосіб: , тобто областю стійкості є коло одиничного радіуса, центр якого знаходиться в точці  комплексної площини.

Для неявного методу Ейлера умова  відповідає нерівності , тобто областю стійкості є зовнішність кола одиничного радіуса з центром у точці .

Різницевий метод називається стійким, якщо область його стійкості включає ліву півплощину  (або ). Варто звернути увагу на те, що рівняння (8.37) асимптотично стійке при . Отже,  стійкий різницевий метод є абсолютно стійким (тобто стійким при будь-яких ), якщо стійким є розв’язок вихідного диференціального рівняння.

З вищезазначеного видно, що неявний метод Ейлера має властивість стійкості, а явний метод – не має.

Розглянемо ще один неявний метод більш високого порядку апроксимації (другого):

          . (8.43)

Цей метод виходить заміною інтеграла від правої частини (8.1) за формулою трапецій. Стосовно рівняння (8.37) метод (8.43) виглядає так:  , тобто , якщо . Отже, метод (8.43) належить до  стійких методів.

Доведеними є такі положення:

-серед методів (8.43) не існує явних стійких методів;

-серед неявних лінійних багатокрокових методів немає  стійких методів, що мають порядок точності вище другого.

стійкі різницеві схеми досить ефективні при розв’язанні так званих жорстких систем рівнянь, оскільки ці методи не накладають обмежень на крок . Розглянемо докладніше це твердження.