Кубатурна формула типу Симпсона

Нехай областю інтегрування є K-вимірний просторовий паралелепіпед  (рис.7.6), сторони якого паралельні осям координат. Кожний із проміжків  розіб'ємо навпіл точками:

, де .

Усього, таким чином, одержимо  точок сітки. Маємо

. (7.23)

Знаходимо K-вимірний інтеграл, обчислюючи кожний внутрішній інтеграл за квадратурною формулою Симпсона на відповідному відрізку. Проведемо повністю всі обчислення для випадку K=2:

Застосовуючи до кожного інтеграла знову формулу Симпсона, одержимо:

,

або

 (7.24)

Формулу (7.24) будемо називати кубатурною формулою Симпсона. Отже,

          (7.25)

де  – сума значень підінтегральної функції  у вершинах прямокутника ,  – сума значень  у серединах сторін прямокутника ,  – значення функції  в центрі прямокутника . Кратності цих значень позначені на рис. 7.6.

Якщо розміри просторового паралелепіпеда  великі, то для збільшення точності кубатурної формули область  

розбивають на систему паралелепіпедів, до кожного з яких застосовують кубатурну формулу Симпсона.

Знову розглянемо випадок K=2. Покладемо, що сторони прямокутника  ми розділили відповідно на  й  однакових частин; у результаті вийшла відносно велика мережа  прямокутників (на рис. 7.7 вершини цих прямокутників відзначені більшими кружками). Кожний із цих прямокутників, у свою чергу, розділимо на чотири однакові частини. Вершини цієї останньої дрібної мережі прямокутників візьмемо за вузли  кубатурної формули.

Нехай  і . Тоді мережа вузлів буде мати координати:      ;

                        

Для скорочення введемо позначення

Застосовуючи формулу (7.24) до кожного із прямокутників великої мережі, будемо мати (рис.7.7):

Звідси, виконавши зведення подібних членів, остаточно знаходимо:

(7.26)

 

 

 

де коефіцієнти  є відповідними елементами матриці

Якщо область інтегрування  – довільна, то будуємо паралелепіпед , сторони якого паралельні осям координат (рис. 7.8). Розглянемо допоміжну функцію

У такому випадку маємо

     Останній інтеграл приблизно може бути обчислений за загальною кубатурною формулою (7.26).

Питання і завдання до розділу 7

1 Найпростіші квадратурні формули (прямокутників, трапецій, Симпсона), геометрична ілюстрація, оцінки похибки. Точність квадратурних формул.

2 Квадратурні формули інтерполяційного типу: виведення формул, оцінки похибки.

3 Квадратурні формули Гауса: виведення формул, точність формул.

4 Правило Рунге практичної оцінки похибки. Адаптивні процедури чисельного інтегрування.

5 Обчислити наближено з кроком h =1 інтеграл  за формулами прямокутників, трапецій, Симпсона. Оцінити похибку теоретично.

6 Переконатися в тім, що формула прямокутників є точною для многочленів , а формула Симпсона – для многочленів .

7 Оцінити теоретично значення кроку інтегрування h для наближеного обчислення інтеграла  за формулою трапецій з точністю .

8 Оцінити теоретично значення кроку інтегрування h для наближеного обчислення інтеграла  по формулі Симпсона з точністю .

9 Одержати квадратурні формули прямокутників і трапецій із загальної формули інтерполяційного типу.

10 Переконатися, що квадратурна формула Гауса з одним вузлом точна для многочленів .

11 Обчислити інтеграл  за формулами трапецій і Симпсона з точністю , використовуючи правило Рунге оцінки похибки.

12 Знайти оцінку похибки обчислення інтеграла  за складеною формулою

.

13 Оцінити мінімальне число розбиттів відрізка N інтегрування для наближеного обчислення інтеграла  за складеною формулою трапецій, що забезпечує точність .

14 Обчислити інтеграли , де , k =0,1,...,5 аналітично й використовуючи квадратурну формулу Симпсона із кроком h = (b-a)/2. Для многочленів якого степеня використовувана квадратурна формула точна й чому? Оцінити похибку інтегрування за правилом Рунге.

15 Обчислити значення інтеграла   аналітично й, використовуючи формулу прямокутників із кроками : , ,… ...(). При зазначених значеннях  знайти абсолютну похибку й оцінки теоретичної абсолютної похибки. На одному кресленні побудувати графіки знайдених похибок.

16 Побудувати графік функції . Для обчислення інтеграла з точністю 10^-8 використати квадратурну формулу трапецій і правило Рунге оцінки похибки.

17 Обчислити значення інтеграла  із задачі 14, використовуючи квадратурну формулу Гауса з одним, двома, трьома, чотирма вузлами. Визначити абсолютну похибку результату. Побудувати гістограму залежності похибки від числа вузлів. Переконатися, що квадратурні формули Гауса з N +1 (N =0,1,2,3) вузлами точні для многочленів 1, t,…,t^m, де m=2N+1.

18 Обчислити наближено площу фігури, обмеженої кривими   Точки перетину кривих знайти графічно. Для обчислення інтегралів з точністю 10^-8  використати квадратурну формулу Симпсона і правило Рунге оцінки похибки.

19 Наближено обчислити подвійний інтеграл по прямокутній області  з точністю 0.001.

20 Функція y=y(x)  задана таблицею своїх значень:

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	1	1.2	1.24	0.76	0.6

Обчислити наближене значення інтеграла  за квадратурними формулами трапецій і Симпсона.

21 Побудувати квадратурну формулу , точну для многочленів найбільш високого степеня, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

22 Знайти наближене значення інтеграла  із кроком , використовуючи квадратурні формули прямокутників, трапецій, Симпсона. Оцінити похибку формули чисельного інтегрування двома способами: використовуючи теоретичну оцінку похибки та правило Рунге.

23 З яким кроком інтегрування потрібно обчислювати наближене значення інтеграла  за формулою трапецій для того, щоб забезпечити точність 0.00001.

Розділ 8