Определение основных размеров кулачковых механизмов

 

Рассмотрим кулачковый механизм с роликовым толкателем (рис. 14.4). Основными размерами механизма являются: радиус R, вписанной в профиль кулачка окружности; смещение е толкателя и радиус r ролика. Габаритные размеры механизма, обеспечивающие эффективную работу, зависят от ограничений угла давления  

Построим заменяющий механизм, заменив высшую пару между кулачком 1 и толкателем 2 звеном 3 длиной СВ. Центр шарнира С при этом поместим в центр кривизны профиля кулачка. Центр кривизны С лежит на нормали n к профилю кулачка в точке касания ролика и толкателя. На рис. 14.5 изображён отдельно заменяющий механизм.

Составим векторное уравнение:

 

` V<sub>B</sub> = ` V _С + ` V_{B С},                                            (14.10)

где ` V_B - вектор скорости точки В (направлен параллельно оси y);

` V_C -   вектор скорости точки C (направлен перпендикулярно ОС);

` V_{B С} - вектор скорости точки В относительно точки С (направлен

              перпендикулярно ВС).

Используя векторное уравнение (14.10), построим план скоростей заменяющего механизма (рис. 14.6). На рис. 14.4 построим в масштабе кривошипа ОС повёрнутый на 90^о в сторону противоположную угловой скорости w кулачка  план скоростей заменяющего механизма. Полюс р плана скоростей при этом совместим с точкой О. Отрезок pb  на совмещённом плане скоростей равен аналогу скорости S ¢ точки В, так как масштабы плана скоростей и схемы заменяющего механизма на рис. 14.4 одинаковы.

Рис. 14.4. Кулачковый механизм с роликовым толкателем

yB

О

e

n

u

2

w

b ¢

1

u

С

3

B

b

c

p

S ¢

S ¢

` R21

yO

R

r

Рис. 14.5. Заменяющий механизм

u

О

С

B

w

1

3

2

y В

Рис. 14.6. План скоростей заменяющего механизма

` VC

` VBC

` VB

р

c

b

 

           

 

 

Реакция ` R ₂₁ между толкателем и кулачком проходит по нормали n к профилю кулачка и образует угол давления u с направлением оси y_B. Отложим от центра шарнира В отрезок В b ¢, перпендикулярный к оси y_B и равный по длине отрезку pb = S ¢. Соединим прямой линией точки b ¢ и О. Построенный таким образом четырёхугольник ObBb ¢  будет являться параллелограммом. Угол между осью y_O и стороной Ob ¢ будет равен углу давления u в рассматриваемом положении механизма.

Угол давления u во время работы кулачкового механизма не остаётся постоянным, а меняется от нуля до u _max. При проектировании кулачкового механизма необходимо заранее знать, при каком положении кулачка угол давления будет максимальным.

Для определения максимального угла давления u _max  построим диаграмму S ¢ (S) (рис. 14.7).  Чтобы построить положение текущей точки i диаграммы S ¢ (S), отложим от точки В₀ по оси S отрезок В₀В _i = S_i. Затем отложим от точки В _i отрезок S ¢. Соединим прямой линией t _i центр вращения О кулачка с точкой i  диаграммы. Угол между линией t _i и осью S будет равен углу давления u _i в текущем положении кулачка. После построения полной диаграммы S ¢ (S) проведём через точку О прямую t,   касательную к диаграмме S ¢ (S). Угол между касательной t и осью S будет равен максимальному углу давления u _max при заданном положении центра вращения О кулачка. Таким образом, из построений на рис. 14.7 следует, что максимальный угол давления u _max между толкателем и кулачком зависит от положения центра вращения О кулачка. При проектировании кулачкового механизма положение центра вращения О кулачка необходимо выбрать так, чтобы при работе механизма максимальный угол давления u _max не превосходил допускаемого значения u _д.

Построим на рис. 14.8 диаграмму S ¢ (S)  и проведём касательную прямую t под углом u _д для рабочего хода и касательную t _х под углом u _{д x} -  для холостого хода толкателя. Касательные прямые t и t _х образуют область s, в пределах которой можно расположить центр О вращения кулачка. Для любой точки

О, выбранной внутри области s, будет выполняться условие  Расстояние от точки О до точки В₀ будет равно радиусу R ₀ вписанной в центровой профиль кулачка окружности. Точка О₁, лежащая на пересечении касательных t и t _x, соответствует наименьшему радиусу R ₀. Точка О₂, лежащая на оси S, соответствует наименьшему смещению е центра вращения кулачка от оси S.

Рис. 14.7. Определение максимальных углов давления  в кулачковом механизме  с роликовым толкателем

t х

В i

S ¢ i

u max

S

е

S ¢

i

u max х

t

Si

О 2

В n

S ¢ n

n

u i

t i

Sn

В0

Рис. 14.8. Область допустимых положений центра вращения  кулачка в кулачковом механизме  с роликовым толкателем

S

В 0

t х

u д

h

s

S ¢

u дх

t

О

В h

R0

О 2

О 1

е

 

 

Для построения диаграмм S ¢ (S) на рис. 14.7 и 14.8 можно воспользоваться построенными заранее диаграммами S ¢ (j) и S (j) (рис. 14.9).

Рис. 14.9. Диаграммы аналога скоростей S ¢ (j) и перемещения S (j) толкателя кулачкового механизма

Si

φ

360^о

φ n

S

φ i

Sn

0

0

0

φ

360^о

S ¢

0

0

S ¢ i

S ¢ n

0

 

 

Рассмотрим кулачковый механизм с роликовым коромыслом (рис. 14.10). Основными размерами механизма являются: радиус R вписанной в профиль кулачка окружности; расстояние между неподвижными опорами А и О; радиус r ролика. Реакция ` R <sub>21</sub> между толкателем и кулачком направлена по нормали n к профилю кулачка. Угол между нормалью n и вектором ` V_B скорости точки В будет являться углом давления u между толкателем и кулачком.

Рис. 14.10. Кулачковый механизм с роликовым коромыслом

О

n

u

2

w

b ¢

1

С

3

B

b

c

p

S ¢

S ¢

А

g

` VB

u

g

R

` R21

r

Рис. 14.11. Заменяющий механизм

g = 90^о - u

u

О

С

B

w

1

3

2

A

` VB

Рис. 14.12. План скоростей заменяющего механизма

` VC

` VBC

` VB

р

c

b

 

 

Построим на рис. 14.10 заменяющий механизм. Для этого заменим высшую кинематическую пару между толкателем и кулачком звеном 3 с двумя шарнирами С и В. Центр шарнира С поместим в центр кривизны профиля кулачка в точке контакта толкателя и кулачка. Центр шарнира В поместим в центр ролика механизма. Таким образом, заменяющий механизм представляет собой шарнирный четырёхзвенник, изображённый отдельно на рис. 14.11.

Построим на рис. 4.12 план скоростей заменяющего механизма. Для этого составим векторное уравнение:

` V <sub>В</sub> = ` V _С + ` V_{B С},                                         (14.11)

где ` V_B - вектор скорости точки В (направлен перпендикулярно АВ);

` V_C - вектор скорости точки C (направлен перпендикулярно ОС);

` V_{B С} - вектор скорости точки В относительно точки С (направлен перпендикулярно ВС).

На рис. 14.10 построим в масштабе кривошипа ОС повёрнутый на 90^о в сторону противоположную угловой скорости w кулачка план скоростей заменяющего механизма. Полюс р плана скоростей при этом совместим с точкой О. Отрезок pb  на совмещённом плане скоростей равен аналогу скорости S ¢ точки В, так как масштабы плана скоростей и схемы заменяющего механизма на рис. 14.10 одинаковы. Отложим от центра шарнира В отрезок В b ¢, направленный параллельно АВ и равный по длине отрезку pb = S ¢. Соединим прямой линией точки b ¢ и О. Построенный таким образом четырёхугольник ObBb ¢  будет являться параллелограммом. Угол между В b ¢ и стороной Ob ¢ будет равен углу передачи g в рассматриваемом положении механизма. При этом g = 90^о - u.

Из построений на рис. 14.10 следует, что максимальный угол давления u _max между толкателем и кулачком зависит от положения центра вращения О кулачка. При проектировании кулачкового механизма положение центра вращения О кулачка необходимо выбрать так, чтобы при работе механизма максимальный угол давления u _max не превосходил допускаемого значения u _д.

Построим на рис. 14.13 диаграмму S ¢ (S_B). Для этого проведём дугу S_B окружности радиусом АВ и центром в точке А. На этой дуге отметим участок В_оВ _h, соответствующий углу y _р полного размаха коромысла АВ. Используя диаграмму S ¢ (S) (рис. 14.9), отметим на дуге S_B ряд точек, например B_i, B_n, B_j и B_k. Соединим прямыми линиями эти точки с центром вращения А коромысла. Отложим от точек B_i, B_n, B_j и B_k отрезки, равные по длине соответствующим аналогам скорости S ¢ _i, S ¢ _n, S ¢ _j и S ¢ _k, учитывая их знак по диаграмме S ¢ (S) на рис. 14.9. Для точек на диаграмме S ¢ (S_B), например i,   n, j и k, проведём прямые линии a _i, a _n, a _j, и a _n под углом передачи g _д к отрезкам B_ii, B_nn - для рабочего хода и под углом g _дх к отрезкам B_jj и B_kk - для холостого хода толкателя. Прямые линии a _i, a _n, a _j, и a _n образуют область s, в пределах которой можно расположить центр О вращения кулачка. Для любой точки О, выбранной внутри области s, будет выполняться условие  Расстояние от точки О до точки В₀ будет равно радиусу R ₀ вписанной в центровой профиль кулачка окружности. Отрезок ОА определяет расстояние между неподвижными опорами О и А кулачкового механизма. Точка О₁ соответствует наименьшему размеру R ₀.

 

Рис. 14.13. Область допустимых положений центра вращения  кулачка в кулачковом механизме  с роликовым коромыслом

A

O

Bh

Bn

Bi

Bj

Bk

S В

B0

S ¢ n

S ¢ i

S ¢ j

S ¢ k

y р

n

i

j

k

g д

g д

g дх

g дх

a j

a k

s

a n

a i

R0

O1

 

 

Рассмотрим кулачковый механизм с плоским толкателем (рис. 14.14). Основными размерами механизма являются: радиус R вписанной в профиль кулачка окружности и радиус r _Т тарелки толкателя.

Обозначим через С центр кривизны профиля кулачка в точке его контакта с толкателем. Так как центр кривизны профиля толкателя находится в бесконечности, то высшую кинематическую пару между кулачком и толкателем можно заменить звеном 3 с одной вращательной и одной поступательной парой (рис. 14.15). Построим на рис. 14.16 план ускорений заменяющего механизма. Для этого составим векторное уравнение:

` а<sub>В2</sub> = ` а_В3 + ` а _{B 2,В2},                                       (14.12)

где ` а _{B 2} - вектор ускорения точки В₂ толкателя (направлен параллельно оси y);

` а_В3 -   вектор ускорения точки В₃ заменяющего звена 3.

` а _{B 2,В2} - вектор ускорения точки В₂ толкателя относительно точки В₃ звена 3 (проходит параллельно направляющей тарелки толкателя, т.е. в данном примере перпендикулярно оси y).

Так как заменяющее звено 3 совершает поступательное движение, то

` а<sub>В3</sub> = ` а _C,                                                       (14.13)  

 где ` а _C - вектор ускорения точки C звена 1 (направлен перпендикулярно ОС).

Учитывая уравнение (14.13), получим из выражения (14.12):

` а<sub>В2</sub> = ` а_С + ` а _{B 2,В2}.                                            (14.14)

Решая графически векторное уравнение (14.14), построим на рис. 14.16 план ускорений заменяющего механизма.

Рис. 14.15. Заменяющий  механизм

С

w

О

B2, B3

2

3

1

y

Рис. 14.16. План ускорений заменяющего механизма

p

c, b3

b2

` ac= ` aB3

` aB2,B3

` aB2

Рис. 14.14. Кулачковый механизм с плоским толкателем

S ¢¢

y

В1,В2,B3

S

R

О

2

1

w

c,b3

b2

r

p,C

3

А

r Т

     

 

Построим на рис. 14.14 в масштабе кривошипа ОС план ускорений заменяющего механизма, совместив его полюс p с точкой С, которая является центром кривизны профиля кулачка в точке контакта. Так как масштабы схемы кулачкового механизма и совмещённого плана ускорений одинаковы, то        p b ₂ = S ¢¢, где S ¢¢ - аналог ускорения толкателя кулачкового механизма. Отсюда следует, что радиус кривизны r профиля кулачка определяется суммой:

r = S ¢¢ + R + S,                                              (14.15)

где S - перемещение толкателя.

Наименьшее значение начального радиуса профиля кулачка с плоским толкателем определяется из геометрического условия: профиль кулачка должен быть выпуклым во всех его точках, т. е. должно выполняться неравенство, следующее из (14.15):

r = R ₀ + S + S ¢¢ > 0,                                          (14.16)

где R ₀ - нижняя граница начального радиуса профиля кулачка;

S и S ¢¢ - перемещение и аналог ускорения толкателя.

Из соотношения (14.16) получим условие выпуклости профиля:

R ₀ > - (S + S ¢¢).                                               (14.17)

Определение величины R ₀ сводится к следующим построениям        (рис. 14.17). В прямоугольной системе координат построим диаграмму                f (φ) = - (S + S ¢¢). Причём можно ограничиться построением только таких участков диаграммы f (φ), которые соответствуют окрестностям наибольших по модулю отрицательных ординат S ¢¢ на фазах подъёма и опускания. Для построения диаграммы f (φ) удобно использовать уже готовую диаграмму S (φ).

Ось f направим противоположно оси S, а начало координат графика f (φ) совместим с началом координат графика S (φ). После построения диаграммы f (φ) проведём к ней снизу касательную прямую линию τ параллельно оси φ. Расстояние между касательной τ и осью φ определяет величину R ₀.

Область допустимых значений начального радиуса R профиля кулачка определяется неравенством

R ³ R ₀ + r _min,                                           (14.18)

где r _min - наименьшее допустимое значение радиуса кривизны профиля

           кулачка.

Величина r _min,  определяется при расчёте на прочность, из условий ограничения контактных напряжений в пределах от   r _min = 0,2× h до r _min = 0,5× h.             

Величина радиуса тарелки r_T толкателя должна превышать наибольшее значение модуля аналога скорости толкателя и при подъёме, и при опускании, т. е. должны выполняться условия:

r_T > b ₁ и r_T > b ₂.                                            (14.19)

 

Рис. 14.17. Построение графика f (j) = - (S + S ¢¢)

φ

φ

360^о

360^о

S

φ

S ¢¢

360^о

S ¢

R0

f(j) = - (S + S ¢¢)

S ¢¢ i

S ¢¢ j

S ¢¢ k

S ¢¢ n

S ¢¢ i

S ¢¢ j

S ¢¢ k

S ¢¢ n

b1

b2

t

 

ЛЕКЦИЯ 15