Фазовые углы кулачкового механизма

 

При вращении кулачка в кулачковом механизме последовательно происходят в общем случае следующие фазы движения толкателя: подъём, верхний выстой, опускание и нижний выстой.

Углы поворота кулачка, соответствующие этим фазам, называются:

j _П - угол подъёма;

j _ВВ - угол верхнего выстоя;

j _О - угол опускания;

j _НВ - угол нижнего выстоя.

Рис. 13.6. График перемещения толкателя

φ О

φ НВ

φ

360^о

φ П

φ ВВ

S

h

Рис. 13.5. Фазовые углы  кулачкового механизма

S

В

φ П

φ ВВ

φ О

φ НВ φ НВ

О

w

Сумма фазовых углов равна 360^о, т.е. Полный ход толкателя обозначен на графике через h.

На рис. 13.5 изображены фазовые углы кулачка, а на рис. 13.6 - график S (j) перемещения толкателя кулачкового механизма в зависимости от угла поворота кулачка за время одного его оборота.

                                                    

 

Законы движения выходного звена

Кулачкового механизма

Закон движения выходного звена кулачкового механизма определяется технологическим процессом с учётом динамики используемого механизма.

Закон движения толкателя представляется зависимостями его перемещения S (j), скорости V (j) и ускорения a (j) от угла поворота кулачка.

Скорость толкателя выражается первой производной функции его перемещения по времени:

                                      (13.1)

где  - аналог скорости толкателя.

Ускорение толкателя определяется производной его скорости по времени:

                                   (13.2)

где - аналог скорости толкателя.

Различают три группы законов движения толкателя: с жёстким ударом; с мягким ударом и движение без удара. Наличие удара можно установить по графику ускорений толкателя на участках с резким изменением ускорения.

Для построения графиков движения толкателя кулачкового механизма в качестве исходных данных обычно задают: h - ход толкателя; j _П, j _ВВ, j _О - фазовые углы и вид диаграммы S ¢¢ (j) аналога ускорений толкателя.

На рис. 13.7 приведён пример построения диаграмм движения толкателя кулачкового механизма.

Рис. 13.7. Диаграммы движения толкателя кулачкового механизма: S ¢¢ (φ) - аналог ускорений; S ¢ (φ) - аналог скоростей; S (φ) - перемещение

φ ВВ

φ О

φ НВ

φ

φ

φ П

360^о

360^о

b1

b2

h

S

a1

φ

S ¢¢

360^о

a2

S ¢

a2

 

 

Диаграмма   S ¢¢ (j) строится после определения максимальных значений аналога ускорений S ¢¢ на фазах подъёма и опускания по формулам:

                                       (13.3)

где a ₁ и a ₂ - максимальные значения аналога ускорений S ¢¢ толкателя на фазах

              подъёма и опускания соответственно;

e ₁ и e ₂ - безразмерные коэффициенты для фаз подъёма и опускания;

h - ход толкателя;

j _П и j _О - фазовые углы в радианах.

Диаграмму аналога скорости S ¢ (j) толкателя можно построить методом графического интегрирования диаграммы аналога ускорений S ¢¢ (j). Для самоконтроля построений диаграммы S ¢ (j) необходимо предварительно найти максимальные значения аналога скорости S ¢ (j) толкателя на фазах подъёма и опускания по формулам:

                                    (13.4)

где b ₁ и b ₂ - максимальные значения аналога скорости S ¢¢ толкателя на фазах

               подъёма и опускания соответственно;

d ₁ и d ₂ - безразмерные коэффициенты для фаз подъёма и опускания

               соответственно.

Диаграмму перемещения S (j) толкателя можно построить методом графического интегрирования диаграммы S ¢ (j) аналога скорости.

Величины безразмерных коэффициентов e ₁, e ₂, d ₁ и d ₂, входящих в уравнения (13.3) и (13.4), можно выбрать из таблицы (13.1) в зависимости от заданного вида диаграмм аналога ускорений S ¢¢ (j) на соответствующих фазах движения толкателя.

При проектировании новых и изучении существующих механизмов часто применяются методы с использованием кинематических диаграмм. Кинематические диаграммы являются наглядным графическим изображением изменения одного из кинематических параметров движения какой-либо точки или звена механизма в зависимости от другого. Например,  для анализа законов изменения перемещения, скорости и касательного ускорения точки звена механизма целесообразно строить кинематические диаграммы в виде функциональных зависимостей этих величин от времени или от перемещения начального звена. Особенно удобно исследовать методом кинематических диаграмм механизмы с возвратно-поступательным движением выходного звена, например, движение толкателя в кулачковом механизме, поршня в кривошипно-ползунном механизме и т. д.

 

Таблица 13. 1

Вид диаграммы ускорения толкателя

№

1

e

d

4

p ^2 /2

p /2

2

2 p

6

1,5

8

2

2

3

4

6

2

j / j П

S ¢¢

a

a

1

0,5

S ¢¢

a

a

j / j П

1

S ¢¢

a

a

j / j П

1

S ¢¢

a

a

j / j П

1

0,5

2

2 / u

5

a ¢ =a × u / (1 - u)

S ¢¢

j / j П

a ¢

a

u

1

S ¢¢

a

a

1

j / j П

0,5

Безразмерные коэффициенты e и d

 

Графическое интегрирование

Так как существует прямая связь между законами изменения перемещения, скорости и ускорения точки звена механизма, то с помощью методов графического дифференцирования или графического интегрирования можно получить картину изменения любой из трёх этих зависимостей по графику одной из них.

Метод графического интегрирования может быть использован при решении многих задач динамики механизмов. Например, силы, действующие на механизм, часто задаются в виде диаграммы зависимости силы от пути. Тогда работа силы может быть определена методом графического интегрирования.

 Рассмотрим метод графического интегрирования для общего случая. При заданном графике производной у ¢ (х) можно графическим способом найти саму функцию у(х). Аналитически эта задача решается интегрированием функции у ¢ (х) в заданных пределах изменения аргумента х.           

                                                        (13.5)                                 

где y ₀ - значение искомой функции у(х) при х = 0.

Известно, что определённый интеграл численно равен площади, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и ординатами в начале и конце интервала интегрирования. Используя геометрическую интерпретацию определённого интеграла, построим график функции у(х) по заданному графику её производной у ¢ (х).

Графические построения (рис. 13.8)  выполняются в такой последовательности. Интервал интегрирования на оси абсцисс диаграммы производной функции у ¢ (х) делим на частичные интервалы и через точки деления 1, 2, 3... и т.д. проводим прямые параллельно оси ординат так, чтобы они пересекали ось абсцисс диаграммы искомой функции у(х). Эти прямые разбивают заданный график у ¢ (х) на криволинейные трапеции. Каждая из этих криволинейных трапеций заменяется равновеликим по площади прямоугольником. Четвёртую сторону этого прямоугольника проводим параллельно оси абсцисс так, чтобы добавленная площадка равнялась площадке отброшенной (на рисунке 7 названные площадки заштрихованы). Построенные таким образом четвёртые стороны равновеликих прямоугольников продолжаем до пересечения с осью ординат соответственно в точках 1¢, 2¢, 3¢ и т. д. На отрицательном направлении оси абсцисс графика y ¢ (x) отмечаем на расстоянии р от начала координат точку Р - полюс интегрирования. Проводим отрезки PI ¢, Р2 ¢, РЗ ¢ и т. д. После этих подготовительных построений переходим к построению точек, принадлежащих диаграмме искомой функции у (х). На оси у отмечаем точку а с ординатой у₀       (на рисунке 13.8 принято y ₀ = 0) и проводим отрезок а b параллельно отрезку P1 ¢. После этого строим отрезок b с, параллельный отрезку Р2 ¢ и т. д.

Рис. 13. 8. Построение диаграммы y (x) методом

графического интегрирования

 

Через точки а, b, с, d... проводим плавную кривую линию, которая и будет приближённо представлять собою искомую диаграмму у(х), масштаб которой зависит от полюсного расстояния р и масштабных коэффициентов m _х и m _{у ¢} исходной диаграммы у ¢ (х). Масштабный коэффициент по оси ординат полученной диаграммы у(х) определяется формулой

                                       (13.6)

т. е. масштабный коэффициент функции равен произведению трёх величин: полюсного расстояния, масштабного коэффициента производной и масштабного коэффициента аргумента.

В формуле заданными являются только два множителя, поэтому одну из величин - m _у или р, можно выбрать заранее. Например, если масштабный коэффициент m _у функции выберем заранее, то полюсное расстояние будет определяться формулой

                                       (13.7)

ЛЕКЦИЯ 14