Новосибирский государственный

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ

Ю.И. ЕВДОКИМОВ

ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН

ЧАСТЬ 2

ЗУБЧАТЫЕ И КУЛАЧКОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ

Курс лекций

 

 

Новосибирск 2014

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ

 

 

Ю.И. ЕВДОКИМОВ

 

 

ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН

ЧАСТЬ 2

ЗУБЧАТЫЕ И КУЛАЧКОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ

Курс лекций

 

Новосибирск 2014

УДК 621.01

ББК 34.41

 

Кафедра теоретической и прикладной механики

 

Рецензент канд. техн. наук, проф. В.В. Коноводов

 

Евдокимов Ю.И. Теория механизмов и машин. Ч. 2: Зубчатые и кулачковые механизмы: курс лекций / Новосиб. гос. аграр. ун-т. Инженер. ин-т.- Новосибирск: Изд-во НГАУ, 2014. - 80 с.

 

Курс лекций содержит основные положения курса «Теория механизмов и машин», изложенные в краткой конспективной форме. Часть 2 содержит теоретические положения разделов: основные параметры зубчатого колеса; геометрия и свойства эвольвентного зацепления; методы нарезания зубчатых колёс; синтез планетарных передач. Рассмотрены: различные виды кулачковых механизмов; законы движения толкателя и профилирование кулачка с учётом угла давления и других необходимых условий синтеза. Материал изложен на основе графических, аналитических и графоаналитических методов.

На основе изложенного теоретического материала приведены примеры решения задач.

 

Курс лекций предназначен  для студентов Инженерного института всех форм обучения по следующим направлениям и профилям.

Направление 110800 -  Агроинженерия, профили:110801.62 - Машины и оборудование в агробизнесе, 110802.62 - Электрооборудование и электротехнологии в АПК, 110803.62 - Технологическое оборудование для хранения и переработки с.х. продукции, 110804.62 - Технический сервис в агропромышленном комплексе.

Направление 051000 -  Профессиональное обучение,   профиль 051001.62 - Профессиональное обучение (сельское и рыбноехозяйство.

Направление 190600 - Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, п рофиль 190601.62 - Автомобили и автомобильное хозяйство.

Направление 190700 -  Технология транспортных процессов, профиль 190709.62 - Организация и безопасность движения.

Утверждён и рекомендован к изданию методической комиссией Инженерного института (протокол № 8 от 20 декабря 2013 г.).

 

 

Ó Новосибирский государственный аграрный университет, 2014

             Ó Евдокимов Ю.И., 2014

ЛЕКЦИЯ 9

Виды зубчатых механизмов

а

б

в

Рис. 9.2. Соединения зубчатого колеса с валом: а - свободное; б - подвижное; в - глухое

Зубчатые механизмы содержат в своем составе зубчатые колеса, которые соединяются с валом жёстко или подвижно. На рис. 9.2 показаны схемы условных изображений различных соединений зубчатых колес с валом.

 

Зубчатые механизмы классифицируются по различным признакам. Например, в зависимости от взаимного расположения валов они делятся на следующие виды:

с параллельными валами (передачи с цилиндрическими колесами);

с пересекающимися валами (передачи с коническими колесами);

со скрещивающимися валами (червячные передачи).

Рис. 9.3. Простейшие зубчатые механизмы: а - внешнее зацепление цилиндрических колёс; б - внутреннее зацепление цилиндрических колёс; в - передача с коническими колесами; г - червячная передача

а

в

б

г

На рис. 9.3 изображены схемы некоторых простейших зубчатых механизмов.

 

В зависимости от формы зубьев, находящихся в зацеплении, колёса делятся на прямозубые, косозубые, шевронные, винтовые. Цилиндрические зубчатые колёса могут иметь прямые, косые и шевронные зубья. В косозубых цилиндрических колёсах зубья располагаются по винтовым линиям правого или левого направления. В шевронных зубчатых колёсах зубья образованы из двух винтовых линий противоположного направления. Конические зубчатые колёса могут иметь прямые, круговые, спиральные и шевронные зубья.

При использовании непрямозубых колёс повышается плавность работы, уменьшаются износ и шум, увеличивается нагрузочная способность зубчатых колёс. Однако их производство существенно сложнее и дороже. 

В зависимости от характера передаточного отношения зубчатые механизмы делятся на механизмы с постоянным, и переменным передаточным отношением. К последним относятся зубчатые механизмы с некруглыми колёсами.

В зависимости от профиля зуба колёса делятся на колёса с эвольвентными и неэвольвентными зубьями (например, передача Новикова с зубьями, очерченными дугами окружности).

Наибольшее применение в практике имеют зубчатые механизмы с цилиндрическими зубчатыми колёсами, передаточное отношение которых постоянно.

Эвольвентное зацепление

Наибольшее распространение в зубчатых передачах, применяемых в современном машиностроении, получило зацепление, называемое эвольвентным. Профили зуба в таком зацеплении очерчены эвольвентой окружности.

Использование эвольвенты для образования профиля зуба было предложено Л. Эйлером (1765 г.), доказавшим, что эта кривая обладает рядом преимуществ по сравнению с другими кривыми при выборе профиля зубьев колёс в зубчатых передачах.

Эвольвентой окружности называется плоская кривая, описываемая точкой прямой линии, обкатывающейся по окружности без скольжения. При этом прямая линия называется производящей, а окружность - основной. На рис. 9.6 показана схема образования эвольвенты окружности.

При перекатывании производящей прямой n из положения n ₁ в положение n ₂ по основной окружности диаметра d_b точки К, Т и М описывают каждая свою эвольвенту.

 

 

Рис. 9. 6. Образование эвольвенты

О

К1

К 2

Т1

Т 2

М 1

М 2

n1

n 2

db

Эвольвента

Основная окружность

 

Составим уравнение эвольвенты в параметрическом виде.

Из определения эвольвенты и построений на рис. 9.7 следует, что длина дуги К_ОК_Х равна длине отрезка М_ХК_Х, т.е.

Рис. 9.7. Профильный a Х  и эвольвентный Q Х углы

Эвольвента

rb

К 0

КХ

МХ

М О

Q Х

a Х

О

n 0

n Х

                                             (9.5)

 

 

Подставив в (9.5) длину дуги                                         

                                       (9.6)

и длину отрезка

                                    (9.7)

получим:

                                         (9.8.)

где q _Х - эвольвентный угол;

  a _Х - профильный угол.

Величину называют инволютой угла a_х. Тогда уравнение эвольвенты в краткой форме будет иметь вид:

q _Х = inv a _Х.                                                      (9.9)

В уравнениях (9.6), (9.8) и (9.9) углы q _Х и a _Х следует подставлять в радианной мере.

ЛЕКЦИЯ 10

Коэффициенты смещения

ЛЕКЦИЯ 11

Коэффициент перекрытия

 

Для плавной и безударной работы зубчатой передачи должно быть выполнено условие перекры­тия работы одной пары зубьев по времени работой другой пары, т. е. каждая последующая пара зубчатых профилей должна войти в зацепление раньше, чем предшествующая пара вый­дет из зацепления. В точках а и b (рис. 11.1) линия зацепле­ния (n - n) пересекается окружностями вершин r _{а 2}и r _{а 1}зубьев колес.

 

Рис. 11.1. Угол перекрытия j _{a 1}  колеса 1

 

Если вращение колеса 1 происходит по ходу  часо­вой стрелки, то в точке а сопряжённые профили входят в заце­пление, а в точке b выходят из зацепления. Участок а b называ­ется активной линией зацепления. Для нормальной работы зубчатой передачи необходимо, чтобы участок а b находился в пределах линии зацепления АВ. Если точки а или b   выйдут за эти пределы, то в зубчатой передаче произойдет заклинивание.

Угол поворота зубчатого колеса от положения входа зуба в зацепление до выхода из него называется углом пе­рекрытия j _a. Для перекрытия зацеплений пар зубьев этот угол должен быть больше углового шага t = 2 p / z.

Отношение угла перекрытия колеса к его угловому шагу называ­ется коэффициентом перекрытия прямозубой передачи:

                                      (11.1)

Здесь

  j _{a 1} = ab / r_{b 1} .                                          (11.2)   

Длина активной линии зацепления ab складывается из длин дополюсной   aP и заполюсной bP её частей, т.е.   ab = aP + bP. При этом

aP = r_{b 2} (tg a _{a 2} - tg a _W),                                  (11.3)

bP = r_{b 1} (tg a _{a 1} - tg a _W).                                   (11.4)

Учитывая, что радиусы основных окружностей:

r_{b 1} = r ₁ × cos a = (m × z ₁ / 2 ) cos a;

r_{b 2} = r ₂ × cos a = (m × z ₂ / 2 ) cos a,

получим после подстановки (11.3) и (11.4) в (11.2) формулу для определения коэффициента перекрытия прямозубой передачи:

               (11.5)

Из формулы (11.5) следует, что коэффициент перекрытия e _а  зависит от чисел зубьев передачи и от ко­эффициентов смещения х ₁ и х ₂.

Если при расчете по формуле (11.5)  получится e _а < 1, то в этом случае непрерывности процесса зацепления зубьев не будет: одна пара зубьев успеет выйти из зацепления еще до того, как следую­щая пара зубьев войдет в него. Поэтому минимально допустимым значением e _а является 1,05, которое обеспечивает непрерывность процесса зацепления с 5% - м запасом.

Важно отметить, что сувеличением суммарного коэф­фициента смещения х _å = х ₁ +х ₂величина коэффициента перекры­тия несколько уменьшается. Поэтому при  проектировании передачи коэффициенты смещения надо назначать так, чтобы   e _а не получился меньше 1,05.

Поясним геометрический смысл коэффициента перекрытия. На участке ас ₁   рассматриваемая пара зубьев, входящая в зацепление, ра­ботает с предыдущей парой. На участке с ₁ с ₂работает только одна рассматриваемая пара зубьев. На участке с ₂ b рас­сматриваемая пара зубьев работает одновременно с последующей парой. Таким образом, на участках a с ₁и с ₂ b происходит двухпарное зацепление, т. е. имеет место перекрытие работы одной пары зубьев соседними парами. При   e _а = 1 в момент выхода одной пары зубьев из зацепления зубья другой пары входят в кон­такт. При e _а < 1 зубья од­ной пары выходят из зацепления, а зубья последующей пары еще не успели соприкоснуться - неизбежна прерывистость в процессе зацепления с периодически повторяющимися уда­рами в момент входа очередной пары зубьев в зацепление.

Пример расчёта основных геометрических параметров

Зубчатой передачи

 

Рассмотрим основные этапы синтеза зубчатой передачи на конкретном примере.

Исходные данные:

· числа зубьев шестерни и колеса z ₁ = 13, z ₂ = 22;

· модуль зубчатой передачи m = 8 мм;

· межосевое расстояние a_w = 147,5 мм;

· параметры исходного контура пo ГОСТ I3755-8I (см. таблицу 10.1).

Расчёт проведём в следующем порядке.

1. Делительное межосевое расстояние:

   

Сравнивая заданное межосевое расстояние a _w с делительным, приходим к выводу, что a _w ¹ a, так как 147,5 ¹ 140, поэтому проектируемая зубчатая передача является неравносмещённой.

2. Угол зацепления:

 

где cos a = cos 20° = 0,94.

3. Коэффициент суммы смещений:

 

где inv 26°53¢ = 0,0377;

inv 20° = 0,0149;

  tg 20° = 0,364.

ЛЕКЦИЯ 12

Планетарные механизмы

1

2

3

4

Н

Рис. 12. 7. Планетарная передача с неподвижным центральным колесом 4

1

2

3

4

Н

Рис. 12. 8. Планетарная передача с неподвижным центральным колесом 1

При закреплении со стойкой одного из центральных колёс дифференциального механизма получим планетарную передачу с одной степенью свободы (рис. 12.7 и 12.8).

 

Формулу для передаточного отношения планетарной передачи можно получить из формулы Виллиса (12.11), приняв в ней угловую скорость w _n = 0, т.е. будем считать, что колесо n неподвижно:

                            (12.14)  

Разделив числитель и знаменатель (12.14) на w _H, получим

или

 .                                   (12.15)

Так для планетарной передачи с неподвижным центральным колесом 4 (рис. 12.7) передаточное отношение будет следующим.

                                   (12.16)

где  - передаточное отношение обращённого механизма, которое

          определяется через числа зубьев по формуле (12.12).

Для планетарной передачи с неподвижным центральным колесом 1    (рис. 12.8) передаточное отношение будет следующим:

                                  (12.17)

где  - передаточное отношение обращённого механизма, которое

          определяется через числа зубьев колёс по формуле (12.13).

В технике применяются планетарные передачи и других видов. Это, например, однорядная планетарная передача (рис. 12.9 а), двухрядная планетарная передача с внешним и внутренним зацеплениями (рис. 12.9 б) и двухрядная передача с двумя внутренними зацеплениями (рис. 12.9 в).

Рис. 12.9. Кинематические схемы планетарных передач: а - однорядная планетарная передача; б - двухрядная передача с внешним и внутренним зацеплениями; в - двухрядная передача с двумя внутренними зацеплениями

1

2

3

H

а

1

2

4

3

H

б

в

1

2

3

4

H

 

Передаточное отношение однорядной планетарной передачи (рис. 12.9 а) определяется формулой

                                      (12.18)

где  передаточное отношение обращённого механизма (c неподвижным     водилом Н) от колеса 1 к колесу 3.

Передаточное отношение двухрядной планетарной передачи с внешним и внутренним зацеплением (рис. 12.9 б) определяется формулой

                                      (12.19)

где  передаточное отношение обращённого механизма (c неподвижным

            водилом Н) от колеса 1 к колесу 4.

Передаточное отношение двухрядной планетарной передачи с двумя внутренними зацеплениями (рис. 12.9 в) определяется формулой

                                       (12.20)

где  передаточное отношение обращённого механизма (c неподвижным

            водилом Н) от колеса 1 к колесу 4.

 

Результаты расчёта

Номер варианта	z 1	z 2 ^¢	z 2	z 3	Kp				u ¢ 1Н	D u %
						К =2	К =3	К =4
1	17	22,1	22	61	4,73	39	26	19,5	4,58	0,43
2	18	23,4	23	64	4,79	41	27,5	20,5	4,55	1,08
3	19	24,7	25	69	4,75	44	29,3	22	4,63	0,60
4	20	26	26	72	4,80	46	30,6	23	4,60	0,00
5	21	27,3	27	75	4,84	48	32	24	4,57	0,06

 

Анализируя результаты вычислений, содержащиеся в таблице 12.2, можно рекомендовать к выбору вариант № 1, как имеющий наименьшие числа зубьев колёс и удовлетворительную разницу D u, т. е. z ₁ = 17, z ₂ = 22, z ₃ = 61,             u ¢ _{1 H} = 4,58,   D u = 0,43 %. Число сателлитов К рекомендуется принять равным 3 (К < К _p или 3 < 4,73).

ЛЕКЦИЯ 13

Кулачковые механизмы. Общие положения

Механизм, имеющий высшую кинематическую пару, называется кулачковым. Звено, вступающее в высшую кинематическую пару и имеющее элемент (рабочую поверхность) переменной кривизны, называется кулачком. Кулачок выступает в роли входного звена, а выходным звеном в кулачковом механизме  является толкатель. Толкатель связан с рабочим органом технологической машины.

Основное достоинство кулачковых механизмов заключается в том, что они позволяют сравнительно легко и точно получить сложный, наперёд заданный закон движения выходного звена. Благодаря этому кулачковые механизмы получили широкое распространение в технике. Например, они используются для привода клапанов двигателя внутреннего сгорания, для размыкания контактов магнето, во многих автоматах.

Недостатком кулачковых механизмов является большое удельное давление, возникающее между звеньями высшей кинематической пары, что вызывает быстрый износ соприкасающихся поверхностей.

 

Виды кулачковых механизмов

Рис. 13.1. Кулачковые механизмы: а - плоский; б - пространственный

а

б

а

Рассмотрим основные виды кулачковых механизмов, применяемые в технике. Кулачковые механизмы бывают плоскими и пространственными         (рис. 13.1).

 

 

В зависимости от вида движения толкателя кулачковые механизмы делятся на механизмы с поступательным и вращательным движением толкателя      (рис. 13.2).

Рис. 13.2. Кулачковые механизмы: а -  с поступательным;  б - с вращательным движением толкателя

а

б

 

 

В зависимости от вида замыкания толкателя и кулачка бывают механизмы с силовым и геометрическим замыканием (рис. 13.3). Силовое замыкание толкателя и кулачка осуществляется с помощью пружины, а геометрическое - с помощью специального паза на кулачке.

 

а

б

Рис. 13.3. Кулачковые механизмы: а -  с силовым; б - с геометрическим замыканием толкателя и кулачка

 

В зависимости от вида кинематической пары между толкателем и кулачком кулачковые механизмы делятся на механизмы с плоским, роликовым, грибовидным и острым толкателем (рис. 13.4).

а

б

в

г

Рис. 13.4. Кулачковые механизмы с различными по виду кинематическими парами между толкателем и кулачком:  а - с плоским; б - с роликовым; в - с грибовидным;  г - с острым толкателем

 

Кулачкового механизма

Закон движения выходного звена кулачкового механизма определяется технологическим процессом с учётом динамики используемого механизма.

Закон движения толкателя представляется зависимостями его перемещения S (j), скорости V (j) и ускорения a (j) от угла поворота кулачка.

Скорость толкателя выражается первой производной функции его перемещения по времени:

                                      (13.1)

где  - аналог скорости толкателя.

Ускорение толкателя определяется производной его скорости по времени:

                                   (13.2)

где - аналог скорости толкателя.

Различают три группы законов движения толкателя: с жёстким ударом; с мягким ударом и движение без удара. Наличие удара можно установить по графику ускорений толкателя на участках с резким изменением ускорения.

Для построения графиков движения толкателя кулачкового механизма в качестве исходных данных обычно задают: h - ход толкателя; j _П, j _ВВ, j _О - фазовые углы и вид диаграммы S ¢¢ (j) аналога ускорений толкателя.

На рис. 13.7 приведён пример построения диаграмм движения толкателя кулачкового механизма.

Рис. 13.7. Диаграммы движения толкателя кулачкового механизма: S ¢¢ (φ) - аналог ускорений; S ¢ (φ) - аналог скоростей; S (φ) - перемещение

φ ВВ

φ О

φ НВ

φ

φ

φ П

360^о

360^о

b1

b2

h

S

a1

φ

S ¢¢

360^о

a2

S ¢

a2

 

 

Диаграмма   S ¢¢ (j) строится после определения максимальных значений аналога ускорений S ¢¢ на фазах подъёма и опускания по формулам:

                                       (13.3)

где a ₁ и a ₂ - максимальные значения аналога ускорений S ¢¢ толкателя на фазах

              подъёма и опускания соответственно;

e ₁ и e ₂ - безразмерные коэффициенты для фаз подъёма и опускания;

h - ход толкателя;

j _П и j _О - фазовые углы в радианах.

Диаграмму аналога скорости S ¢ (j) толкателя можно построить методом графического интегрирования диаграммы аналога ускорений S ¢¢ (j). Для самоконтроля построений диаграммы S ¢ (j) необходимо предварительно найти максимальные значения аналога скорости S ¢ (j) толкателя на фазах подъёма и опускания по формулам:

                                    (13.4)

где b ₁ и b ₂ - максимальные значения аналога скорости S ¢¢ толкателя на фазах

               подъёма и опускания соответственно;

d ₁ и d ₂ - безразмерные коэффициенты для фаз подъёма и опускания

               соответственно.

Диаграмму перемещения S (j) толкателя можно построить методом графического интегрирования диаграммы S ¢ (j) аналога скорости.

Величины безразмерных коэффициентов e ₁, e ₂, d ₁ и d ₂, входящих в уравнения (13.3) и (13.4), можно выбрать из таблицы (13.1) в зависимости от заданного вида диаграмм аналога ускорений S ¢¢ (j) на соответствующих фазах движения толкателя.

При проектировании новых и изучении существующих механизмов часто применяются методы с использованием кинематических диаграмм. Кинематические диаграммы являются наглядным графическим изображением изменения одного из кинематических параметров движения какой-либо точки или звена механизма в зависимости от другого. Например,  для анализа законов изменения перемещения, скорости и касательного ускорения точки звена механизма целесообразно строить кинематические диаграммы в виде функциональных зависимостей этих величин от времени или от перемещения начального звена. Особенно удобно исследовать методом кинематических диаграмм механизмы с возвратно-поступательным движением выходного звена, например, движение толкателя в кулачковом механизме, поршня в кривошипно-ползунном механизме и т. д.

 

Таблица 13. 1

Вид диаграммы ускорения толкателя

№

1

e

d

4

p ^2 /2

p /2

2

2 p

6

1,5

8

2

2

3

4

6

2

j / j П

S ¢¢

a

a

1

0,5

S ¢¢

a

a

j / j П

1

S ¢¢

a

a

j / j П

1

S ¢¢

a

a

j / j П

1

0,5

2

2 / u

5

a ¢ =a × u / (1 - u)

S ¢¢

j / j П

a ¢

a

u

1

S ¢¢

a

a

1

j / j П

0,5

Безразмерные коэффициенты e и d

 

Графическое интегрирование

Так как существует прямая связь между законами изменения перемещения, скорости и ускорения точки звена механизма, то с помощью методов графического дифференцирования или графического интегрирования можно получить картину изменения любой из трёх этих зависимостей по графику одной из них.

Метод графического интегрирования может быть использован при решении многих задач динамики механизмов. Например, силы, действующие на механизм, часто задаются в виде диаграммы зависимости силы от пути. Тогда работа силы может быть определена методом графического интегрирования.

 Рассмотрим метод графического интегрирования для общего случая. При заданном графике производной у ¢ (х) можно графическим способом найти саму функцию у(х). Аналитически эта задача решается интегрированием функции у ¢ (х) в заданных пределах изменения аргумента х.           

                                                        (13.5)                                 

где y ₀ - значение искомой функции у(х) при х = 0.

Известно, что определённый интеграл численно равен площади, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и ординатами в начале и конце интервала интегрирования. Используя геометрическую интерпретацию определённого интеграла, построим график функции у(х) по заданному графику её производной у ¢ (х).

Графические построения (рис. 13.8)  выполняются в такой последовательности. Интервал интегрирования на оси абсцисс диаграммы производной функции у ¢ (х) делим на частичные интервалы и через точки деления 1, 2, 3... и т.д. проводим прямые параллельно оси ординат так, чтобы они пересекали ось абсцисс диаграммы искомой функции у(х). Эти прямые разбивают заданный график у ¢ (х) на криволинейные трапеции. Каждая из этих криволинейных трапеций заменяется равновеликим по площади прямоугольником. Четвёртую сторону этого прямоугольника проводим параллельно оси абсцисс так, чтобы добавленная площадка равнялась площадке отброшенной (на рисунке 7 названные площадки заштрихованы). Построенные таким образом четвёртые стороны равновеликих прямоугольников продолжаем до пересечения с осью ординат соответственно в точках 1¢, 2¢, 3¢ и т. д. На отрицательном направлении оси абсцисс графика y ¢ (x) отмечаем на расстоянии р от начала координат точку Р - полюс интегрирования. Проводим отрезки PI ¢, Р2 ¢, РЗ ¢ и т. д. После этих подготовительных построений переходим к построению точек, принадлежащих диаграмме искомой функции у (х). На оси у отмечаем точку а с ординатой у₀       (на рисунке 13.8 принято y ₀ = 0) и проводим отрезок а b параллельно отрезку P1 ¢. После этого строим отрезок b с, параллельный отрезку Р2 ¢ и т. д.

Рис. 13. 8. Построение диаграммы y (x) методом

графического интегрирования