Введение в Математический анализ

Математический анализ — совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

Функция. Предел функции

Математический анализ — раздел математики, в котором изучаются функции. В экономическом анализе часто исследуют, например, зависимости спроса и предложения от цены (функции спроса и предложения), зависимость издержек производства от объема продукции (функцию издержек) и др. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , обозначаемый . При этом элементы называются независимыми переменными (или аргументами), а элементы называются зависимыми переменными (или значениями функции). Множество X называют областью определения функции, а множество У — областью значений функции. Функция называется сложной (или композицией функций, или функцией от функций), если ее аргумент в свою очередь является функцией другой переменной: .

В школьном курсе изучались следующие функции: постоянная , степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические и обратные тригонометрические Все эти функции называются основными элементарными функциями. Функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий и образования сложных функций над основными элементарными функциями называются элементарными. Это класс функций, с которыми мы будем работать на протяжении всего курса.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет математический анализ

Одним из основных понятий математического анализа является предел. Примерами применения понятия предела могут служить окружность как предел вписанных и описанных многоугольников при бесконечном увеличении числа сторон или касательная как предельное положение секущей при сближении точек пересечения. Говорят, что функция имеет предел А при х стремящемся к , если значения функции сколь угодно близко приближаются к числу А, когда значения переменной х сколь угодно близко приближаются к числу .

Используя логические символы: — «для любого», — «существует», символ равносильности — «тогда и только тогда, когда», символ следствия — «следует, что», и символ: — «такое, что», определение предела можно записать в виде:

Внимание! Определение предела не требует существования функции в самой предельной точке , т.к. рассматривает значения в некоторой окрестности точки .

Если функция определена в некоторой точке и в некоторой ее окрестности существует предел функции при , равный значению функции в этой точке:

то функция называется непрерывной в точке . Говорят, что функция непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Следовательно, в случае непрерывных функций очень просто находятся пределы в любой точке области определения: для этого достаточно вычислить значение функции в данной точке.

Утверждение 1. Любая элементарная функция непрерывна в области определения.

Утверждение 2. Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:

Пример №1

Вычислить предел

Решение:

Данная функция элементарная, т.к. получена из основных элементарных функций (постоянной и степенной) с помощью конечного числа арифметических действий. Поскольку принадлежит области определения функции, то ее предел в точке равен значению функции в этой точке, т.е.

Заметим, что не всякий производственный процесс непрерывен во времени. Аргумент функции может изменяться лишь в отдельные моменты. Так, приняв за область определения функции множество натуральных чисел , получим функцию натурального аргумента, которую называют числовой последовательностью. Число называют общим членом числовой последовательности. Например, арифметическая или геометрическая прогрессии — числовые последовательности.

Число А называется пределом числовой последовательности , если для любой окрестности точки А все члены последовательности, начиная с некоторого номера N, принадлежат этой окрестности. Обозначение: .

(Символ означает «бесконечно большую величину».)

С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции на бесконечности, которое на языке логических символов имеет вид:

Замечание. Переменная может неограниченно стремиться либо в сторону отрицательных значений: , либо в сторону положительных значений: . Символ ос является объединением двух символов: . Очевидно, что

В общем случае если при стремлении переменная принимает лишь значения, меньшие , и при этом функция стремится к некоторому числу, то говорят о пределе функции слева:

И наоборот, если при стремлении переменная х принимает лишь значения, большие , и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу, то говорят о пределе функции справа:

(При на практике вместо 0-0 пишут -0, а вместо 0+0 — +0.)

Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции в данной точке. Следовательно,

В следующем параграфе мы познакомимся с основными правилами вычисления пределов при х—»хо(ос).

Основные теоремы о пределах

Внимание! Если предел существует, то он единственный.

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной: .

Теорема 2. Пусть . Тогда:

1) предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций:

2) предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

в частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:

3) предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по математическому анализу

Пример №2

Вычислить предел

Решение:

Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы и произведения, получим

Пример №3

Вычислить предел последовательности

Решение:

Теорему о пределе суммы конечного числа функций здесь применить нельзя. Заметим, что является суммой n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом . Следовательно,

Тогда по теоремам о пределах функций имеем:

Рассмотрим соотношения пределов суммы, произведения, частного, распространенные на случай бесконечного предела функции.

Если вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям вида , необходимо провести дополнительные исследования, т.е. «раскрыть неопределенность».

Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенностей вида . Пусть .

1. Если — рациональная дробь, то числитель и знаменатель дроби раскладывают на множители.

Пример №4

Вычислить предел

Решение:

Числитель и знаменатель дроби при обращаются в нуль. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, а затем применим теоремы о пределах частного, суммы и произведения:

2. Если — дробь, содержащая иррациональные выражения, то выделение множителей вида достигается переводом иррациональностей в числитель или знаменатель.

Пример №5

Вычислить предел .

Решение:

Имеем неопределенность вида . Избавимся от иррациональности в числителе, умножив и разделив дробь на сопряженное к числителю выражение . Получим:

3. В остальных случаях для раскрытия неопределенности вида используют первый замечательный предел (см. п. 3.4) или эквивалентные бесконечно малые функции (см. п. 3.5).

Раскрытие неопределенностей вида . Пусть

Если — рациональная дробь или дробь, содержащая иррациональности, то числитель и знаменатель делят на х в старшей степени.

Пример №6

Вычислить предел , если 1) а=2; 2) а— 1; 3) а=4.

Решение:

Числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень (в первом и втором случаях на , во третьем — на ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:

Вывод. Предел рациональной дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях, если эти степени совпадают, нулю — если показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя и бесконечности в противном случае.

Замечание. Для раскрытия неопределенностей вида используют также правило Лопиталя (см. п. 3.8).

Раскрытие неопределенностей вида . Неопределенное выражение вида преобразуется к неопределенности вида или . Методику раскрытия такой неопределенности покажем на примерах.

Пример №7

Вычислить предел .

Решение:

Имеем неопределенность вида которая преобразуется к неопределенности вида приведением функции к общему знаменателю:

Пример №8

Вычислить предел последовательности

Решение:

Для раскрытия неопределенности вида умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное:

Получили неопределенность вида . Раскроем ее, разделив все члены полученного выражения на n:

Раскрытие неопределенностей вида . Неопределенное выражение вида получается при нахождении пределов вида , где , и сводится к неопределенности вида или следующим образом:

Замечание. При вычислении пределов показательно-степенных функций могут получиться неопределенности вида , для раскрытия которых используют второй замечательный предел или правило Ло-питаля.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Следовательно,

(аналогично).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методическое пособие по математическому анализу

Пример №9

Найти

Решение:

Применим первый замечательный предел:

Второй замечательный предел. Числом е называется предел функции при :

(Для запоминания: — год рождения Л.Н. Толстого) Следовательно,

Задача о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Необходимо найти размер вклада через лет.

Решение:

Размер вклада будет увеличиваться ежегодно в раз и через лет составит . Если же начислять проценты n раз в году, то будущая сумма составит . Предположим, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие , ежеквартально , ежемесячно , каждый день , каждый час и, наконец, непрерывно . Тогда за год размер вклада составит:

а за лет:

Пример №10

Найти

Решение:

Т.к. , имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дроби целую часть:

Пример №11

Найти .

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательно-степенной функции, получим: