Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым (выпуклым вверх) в точке , если он расположен ниже касательной в некоторой окрестности этой точки. Аналогично, график дифференцируемой функции называется вогнутым (выпуклым вниз) в точке х0, если он расположен выше касательной в некоторой окрестности этой точки. Однако могут существовать точки, слева от которых в некоторой в достаточно малой окрестности график лежит по одну сторону от касательной, а справа — по другую. Точки графика, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Достаточное условие направления выпуклости. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции отрицательна [положительна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла (вогнута) на этом промежутке:

Следовательно, если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, то это точка перегиба (достаточное условие перегиба):

точка перегиба или точка перегиба .

Отсюда вытекает необходимое условие перегиба: вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю или не существует.

Замечание. Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то это точка перегиба.

Пример №27

Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

Решение:

Область определения функции . С помощью второй производной найдем точки возможного перегиба:

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы, в которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты удобно представить в таблице.

Кривая, изображающая график функции, выпукла на интервалах и вогнута на интервалах . В точках , имеем перегиб:

Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва часто оказывается, что расстояние между точками графика функции и точками некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат. Прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке, называется асимптотой графика. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности: . Такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.

Внимание! Непрерывные на множестве действительных чисел функции вертикальных асимптот на имеют.

Для того чтобы график функции имел наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота.

Пример №28

Найти асимптоты графика функции .

Решение:

Функция непрерывна в области определения как элементарная. Следовательно, вертикальных асимптот пет. Найдем наклонные асимптоты :

Получаем горизонтальную асимптоту .

Кстати теория из учебников по математическому анализу тут.