Уравнение нормали к плоской кривой

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Если касательная в точке к графику непрерывной функции имеет вид (см. п. 4.1), то перпендикулярная к ней прямая имеет угловой коэффициент

Таким образом, при уравнение нормали в точке имеет вид

Если же , то нормаль параллельна оси :

Задача. Показать, что для гиперболы площадь треугольника, образованного координатными осями и касательной в точке , равна квадрату полуоси гиперболы.

Решение:

В общем курсе аналитической геометрии давалось каноническое уравнение гиперболы. «Школьная» гипербола получается из уравнения преобразованием поворота, которое нашей программой не предусмотрено. Полуось гиперболы определим как расстояние между вершиной и центром симметрии гиперболы. Очевидно, вершины гиперболы находятся в точках , а центр симметрии совпадает с началом координат. Тогда полуось гиперболы равна . Следовательно, квадрат полуоси гиперболы равен 2.

Составим уравнение касательной к гиперболе в вершине . Общее уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

В нашем случае

Искомое уравнение касательной имеет вид:

Найдем точки пересечения касательной с осями координат:

Тогда треугольник, образованный координатными осями и касательной, будет иметь вершины . Т.к. треугольник прямоугольный, то его площадь равна

2=2. Задача решена.

Производные высших порядков

До сих пор мы рассматривали производную от функции , называемую производной первого порядка. Но производная сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной второго порядка называется производная от производной первого порядка и обозначается и т.д. В общем случае, производной n-го порядка называется производная от производной -ro порядка (для обозначения производных выше третьего порядка используются арабские цифры в скобках): .

Ранее было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону (где s — путь, t — время), то представляет скорость изменения пути в момент . Следовательно, ускорение точки в момент есть вторая производная пути по времени:

В этом состоит механический смысл второй производной.

Задача. Известно, что траекторией брошенного камня является парабола. Найти его скорость и ускорение.

Решение:

Запишем уравнение траектории брошенного камня :

— парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вниз, — гравитационная постоянная.

Тогда — скорость камня;

— его ускорение, что согласуется с известным физическим законом: всякое брошенное тело испытывает постоянное ускорение свободного падения.

Производная неявной функции

Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных формулой , правая часть которых не содержала зависимой переменной. Если же функция задана уравнением не разрешенным относительно зависимой переменной, то говорят, что функция у задана неявно.

Внимание! Не всякое уравнение определяет неявную функцию. Например, уравнение в действительной области не определяет никакой функции. Иногда одно уравнение такого вида может определять несколько функций. Например, уравнение определяет две функции: и .

Часто разрешить уравнение относительно переменной затруднительно. В таком случае функцию приходится изучать, пользуясь непосредственно уравнением, определяющим ее. Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением .

Для нахождения производной функции , заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от . Затем из полученного уравнения найти производную .

Пример №21

Покажите, что функция , заданная неявно выражением , удовлетворяет уравнению .

Решение:

Найдем первую производную данной функции. Для этого продифференцируем обе части уравнения , используя формулы и правила дифференцирования:

Найдем вторую производную:

Подставим найденные выражения в дифференциальное уравнение:

Правило Лопиталя

С помощью производной можно находить многие пределы. Следующее утверждение позволит свести предел отношения двух функций с случае неопределенностей вида к пределу отношения производных, который очень часто вычисляется проще.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если этот предел существует:

Внимание! В правой части формул берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример №22

Вычислить предел

Решение:

Имеем неопределенность вида . Т.к. числитель и знаменатель дроби непрерывны и дифференцируемы, то можно применить правило Лопиталя:

Замечание Правило Лопиталя можно применять повторно, если вновь приходим к соотношению неопределенностей вида .

Пример №23

Вычислить предел

Решение:

Числитель и знаменатель дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к бесконечности. Следовательно, можно применить правило Лопиталя (в данном примере мы воспользовались им дважды):

Замечание. Другие неопределенности раскрываются по правилу Лопиталя, если их предварительно свести к основному виду с помощью тождественных преобразований.

Пример №24

Найти .

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательной функции, получим:

Оптимизация

В этом параграфе оптимизацию будем понимать как процесс нахождения экстремума (максимума или минимума) экономических функций, т.е. выбор наилучшего варианта из множества возможных. Говорят, что в точке функция имеет (локальный) максимум, если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполнено условие . Аналогично, функция в точке имеет (локальный) минимум, если существует такая окрестность точки , что для всех х из этой окрестности выполнено условие . Точки (локальных) максимума и минимума называются точками (локального) экстремума, а значение функции в них — (локальными) экстремумами функции.

Внимание! Не следует путать понятие локального экстремума функции с ее наибольшим или наименьшим значением (так называемым глобальным максимумом или минимумом). На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем минимум может оказаться больше максимума подобно тому, как впадина в горах может иметь большую отметку над уровнем моря, чем невысокая вершина. А наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции может достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Геометрически в точке экстремума касательная к графику функции либо горизонтальна, либо не существует.

Следовательно, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функции равна пулю или не существует (необходимое условие экстремума). Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими. (Иногда точки, в которых производная обращается в нуль, называют стационарными.)

Замечание. Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Это лишь точка возможного экстремума функции.

Достаточное условие экстремума. Если в критической точке вторая производная положительна, то это точка минимума, а если отрицательна — точка максимума.

Для запоминания этой теоремы предлагаем мнемоническое правило: если плюс — котелок наполняется, если минус — опустошается.

Пример №25

Пусть в краткосрочном плане производственная функция зависит только от численности персонала и имеет вид

где у — выпуск продукции, а n — число работающих. Определить численность персонала, при которой выпуск у достигает максимального значения.

Решение:

Выпуск продукции — функция натурального аргумента. Для решения задачи рассмотрим обобщенную функцию действительного аргумента . Новая функция везде непрерывна и дифференцируема. Найдем стационарные точки, для чего вычислим производную и приравняем ее к нулю:

Решая квадратное уравнение, легко находим . Вычисляем вторую производную:

При имеем

следовательно, в данной точке имеется минимум. Это естественно, т.к. нет выпуска продукции, если нет рабочих. Для второй точки

Поэтому в точке максимум. Соответствующий выпуск продукции