Точки разрыва и их классификация

Непрерывность или разрыв функции может зависеть от конкретных условий, в которых рассматривается задача. Рассмотрим, например, численность населения земного шара как функцию времени. Она увеличивается на 1 в момент рождения каждого человека и уменьшается на 1 в момент смерти. Но рождения и смерти следуют друг за другом через бесконечно малые интервалы времени и изменение численности населения планеты на 1 настолько мало его меняет, что практически функцию можно рассматривать непрерывной. Но стоит перейти от численности населения земного шара к численности населения одной квартиры, как рождение или смерть отдельного ее жителя будут так заметно менять ее численность, что функцию нельзя будет рассматривать как непрерывную.

Если хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке (см. п. 3.1) не выполнено, то в данной точке функция терпит разрыв. Различают три вида точек разрыва непрерывной функции.

1. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел при существует, но не равен значению функции в данной точке, т.е.

Чтобы устранить разрыв в точке достаточно положить . В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывной в точке .

2. Точка Хо называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные пределы слева и справа , не равные друг другу:

При этом величина называется скачком функции в точке .

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то называется точкой разрыва второго рода функции .

Пример №16

Исследовать функции на непрерывность. В случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной.

Решение:

1. Данная функция элементарная, т.к. получена с помощью конечного числа арифметических действий над основными элементарными функциями: экспоненциальной, постоянной и степенной. Следовательно, она непрерывна в области определения . При функция не определена и поэтому разрывна. Исследуем характер точки разрыва. Так как

тo — точка устранимого разрыва.

Если положить , то функция

будет непрерывной для всех х.

2. Функция является элементарной как композиция основных элементарных функций. Следовательно, она непрерывна в области определения — точка разрыва. Для исследования характера точки разрыва найдем односторонние пределы:

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то -точка разрыва второго рода.

Пример №17

Исследовать функцию на непрерывность. Построить схематично график функции.

Решение:

Область определения этой функции — вся числовая прямая: . Однако функция является составной. Составляющие ее функции непрерывны на множестве действительных чисел как элементарные. Поскольку функция задана различными аналитическими выражениями, то проверить на непрерывность нужно точки «стыка» . Исследуем точку :

Так как — точка разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен .

Исследуем точку :

Поскольку , то в точке функция непрерывна. Следовательно, искомая функция непрерывна для всех .

Построим график функции.

Дифференциальное исчисление