Понятие производной. Её геометрический и механический смысл.

Если существует предел отношения приращения ф-ии Dy=f(x0+Dx)-f(x0) к приращению аргумента Dx, когда Dx стремится к нулю, то этот предел называют производной функции в точке x0.

f’(x)=lim(Dx®0)Dy/Dx=lim(Dx®0)(f(x+Dx)-f(x))/Dx

Геометрический смысл производной. На графике ф-ии y=f(x) указаны приращения Dx и Dy. Через точки A(x0, f(x0)) и M(x0+Dx, f(x0+Dx)) проведена секущая AM. Dy/Dx=tgj, где j - угол секущей с «+» направлением оси Ох. При Dx®0 точка М будет стремиться к точке А, секущая в пределе займёт положение касательной, пределом же угла j является угол a. Þ f’(x)=lim(Dx®0)Dy/Dx=lim(Dx®0)tgj=tga=k, где k – угловой коэффициент касательной. Т. о., значение производной в точке х0 равно угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии y=f(x) в точке (x0,f(x0)) – в этом и состоит геометрический смысл производной.

Ур-е касательной: y=f’(x0)(x-x0) + f(x0). Нормаль к кривой – прямая, проведённая через точку касания ^ касательной. Ур-е нормали: y=-1/f’(x0). (x-x0) + f(x0)

Выводы из геометрического смыла производной: 1) если f’(x)>0 в каком-либо промежутке (a, b), то ф-ия f(x) возрастает в этом промежутке, и чем больше f’(x), тем быстрее; 2) если f’(x)<0, т. е. tga<0 и угол a - тупой, то ф-ия f(x) убывает, причём тем быстрее, чем больше |f(x)|.

Механический смысл производной. Предположим, что точка М движется неравномерно по прямой (прямую примем за ось Os). Расстояние точки М от начала координат изменяется, является ф-ией t – s=s(t). Средняя скорость Vср движения на участке то точки M1 с координатой s(t) до точки M2 с координатой s(t+Dt) выражается формулой Vср=Ds/Dt=(s(t+Dt)-s(t))/Dt. Vср грубо характеризует быстроту движения точки М, поэтому вводится понятие мгновенной скорости: Vмгн=lim(Dt®0)Vср=lim(Dt®0)Ds/Dt=s’(t). Т. о. производной s’(t) приписывается механический смысл – это скорость в момент времени t точки, движение которой описывается уравнением s=s(t).

Если движение точки в пространстве задаётся с помощью векторной функции`s(t) =`ix(t) +`jy(t) +`kz(t) = {x(t),y(t),z(t)}, то вектор её скорости`V(t) получается путём дифференцирования этой функции по формуле`V(t) = d`s / dt = {dx/dt, dy/dt, dz/dt}.

Связь между существованием производной и непрерывностью.

1) Из непрерывности ф-ии f(x) в точке x0 не следует существование производной f’(x) в той же точке. (Напр., y=|x|)

2) Если ф-ия f(x) обладает производной f’(x) в точке х0, то она непрерывна в этой точке. Док-во: если существует lim(Dx®0)Dy/Dx=f’(x0), то по теореме о разности между функцией и её пределом (в.15) Dy/Dx=f'(x0)+a, где a - бесконечно малая при Dx®0 Þ Dy = f’(x0)Dx + a. Dx. Оба слагаемых в правой части стремятся к нулю при Dx®0 Þ Dy®0 Þ ф-ия непрерывна по определению.

Теорема о производной суммы, произведения, частного.

Пусть ф-ии u=u(x) и v=v(x) имеют конечные производные в точке х. Тогда верны формулы: (u±v)’=u’±v’; (uv)’=u’v+v’u; (u/v)’=(u’v-v’u)/v2. Докажем вторую формулу: дадим х приращение Dx Þ приращения получат ф-ии u и v: D(uv) = (u+Du)(v+Dv) – uv = Du. v + Dv. u + Du. Dv. Делим обе части равенства на Dх: D(uv)/Dx = (Du. v)/Dx + (Dv. u)/Dx + (Du. Dv)/Dx. При Dx®0 отношения Du/Dx и Dv/Dx стремятся к конечным пределам u’ и v’, произведение (Du/Dx. Dv) стремится к нулю, т. к. Dv®0 Þ (u. v)’ = lim(Dx®0)D(uv)/Dx = u’v +v’u.

Производная сложной функции.

Пусть сложная ф-ия y=F(x) получена с помощью суперпозиции функции y=f(u) (внешняя ф-ия) и ф-ии u=j(x) (внутренняя ф-ия), т. е. y=F(x)=f[j(x)]. Предположим, что j(x0)=u0 и конечные производные j’x(x) в точке х0, f’u(u) в точке u0 существуют.

Дадим аргументу х приращения Dx¹0 Þ приращение получит u. К ф-ии y=f(u) применим формулу Dy=f’(x0)Dx + a. Dx, имеющую смысл только при Dx¹0: Dy=f’u(u)Du + a. Du (при Du¹0; при Du=0 a=0). limDu®0a=0 и Du®0 при Dx®0. Поделим обе части равенства на Dх¹0 и перейдём к пределу при Dx®0: lim(Dx®0)Dy/Dx = lim(Dx®0)(f’u(u0). Du/Dx) + lim(Dx®0)(a. Du/Dx) = f’u(u0). lim(Dx®0)Du/Dx + lim(Dx®0)a. lim(Dx®0)Du/Dx = f’u(u0). j’x(x0) + 0. j’x(x0). Заменив x0, u0 на x, u, получим F’x(x) = f’u(u). j’x(x) или F’x(x) = f’u[j(x)]. j’x(x) или y’x = y’u. u’x или dy/dx = dy/du. du/dx.

Таблица производных. Вывод производных синуса, логарифма, степенной и показательной функции.

Таблица производных: 1) (xn)’=nxn-1, x’=1; 2) (ax)’=axlna; (ex)’=ex; 3) (logax)’=1/xlna; (lnx)’=1/x; 4) (sinx)’=cosx; 5) (cosx)’=-sinx; 6) (tgx)’=1/cos2x; 7) (ctgx)’=-1/sin2x; 8) (arcsinx)’=1/Ö(1-x2); 9) (arccosx)’=-1/Ö(1-x2); 10) (arctgx)’=1/(1+x2); 11) (arcctgx)’=-1/(1+x2).

y=sinx. (sinx)’ = lim(Dx®0)Dy/Dx = lim(Dx®0)(sin(x+Dx)-sinx)/Dx = lim(Dx®0)(2sin(Dx/2)cos(x+Dx/2))/Dx = lim(Dx®0)(sin(Dx/2)/(Dx/2)). lim(Dx®0)cos(x+Dx/2) = 1. cosx = cosx

y=logax (x>0). Воспользуемся непрерывностью логарифмической ф-ии и равенствами limu®0(1+u)1/u=e, logab=(logba)-1. Dy/Dx = (loga(x+Dx)-logax)/Dx = 1/Dx. loga((x+Dx)/x) = 1/x. x/Dx. loga(1+Dx/x) = 1/x. loga[(1+Dx/x)x/Dx]. lim(Dx®0)Dy/Dx = lim(Dx®0)1/x. loga[(1+Dx/x)x/Dx] = 1/x. limu®0loga(1+u)1/u = 1/x. logae = 1/xlna. В частности, (lnx)’=1/x.

y=ax. Обратной ф-ией является ф-ия x=logay. По формуле производной от обратной ф-ии получим: y’x=1/x’y=1:1/ylna=axlna. В частности, (ex)’=ex.

y=xn. (n – любое действительное число). Проделаем вывод формулы только для натурального n. Применим формулу бинома Ньютона, получим: (x+Dx)n = xn + nxn-1Dx + (n(n-1))/1. 2. xn-2Dx2 + … + Dxn. Dy/Dx = ((x+Dx)n-xn)/Dx = nxn-1 + (n(n-1))/1. 2. xn-2Dx2 + … + Dxn-1. При Dx®0 все члены, начиная со второго, стремятся к нулю Þ lim(Dx®0)(Dy/Dx)=nxn-1 Þ (xn)’=nxn-1.