Производная обратной функции. Вывод формулы производной арксинуса.

Производная обратной ф-ии. Пусть ф-ия y=f(x) строго монотонна в интервале (a, b) и имеет конечную не равную нулю производную f’(x). Тогда обратная ф-ия x=g(y) также имеет производную, определяемую равенством g’(y)=1/f’(x). В правой части после вычисления производной f’(x) переменная х заменяется на x=g(y). Док-во: дадим у приращение Dу¹0 – ему будет соответствовать приращение Dх обратной ф-ии x=g(y). Ввиду строгой монотонности Dх¹0, а в силу непрерывности при Dу®0 будет Dx®0. Можно записать Dx/Dу=1/(Dу/Dx) и перейти к пределу при Dу®0: g’(y) = limDу®0Dx/Dу = 1 / limDx®0Dу/Dx = 1/f’(x) = 1/f’x[g(y)].

Вывод формулы производной арксинуса. y=arcsinx. Перейдём к обратной ф-ии x=siny: y’x = 1/x’y = 1/(siny)’y = 1/cosy. Но cosy = Ö(1-sin2y) = Ö(1-x2) Þ (arcsinx)’=1/Ö(1-x2).

Дифференциал. Его геометрический смысл.

Если ф-ия y=f(x) имеет конечную производную f’(x) в точке х, то главная линейная часть приращения ф-ии, т. е. f’(x)Dх, называется её дифференциалом и обозначается dy (иногда dy называют дифференциалом 1го порядка). dy=f’(x)dx

Ф-ия y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение Dу может быть представлено в виде Dу=АDx+g, где А – постоянное число, не зависящее от Dx, а слагаемое g - бесконечно малая при Dx®0, имеющая порядок малости больший, чем Dx (limDx®0g/Dx=0).

Ф-ию f(x) называют непрерывно дифференцируемой, если её производная f’(x) непрерывна.

Геометрический смысл дифференциала. Выразим величину ВС: ВС = Dx. tga = f’(x)Dx = dy. Поэтому говорят, что Dу – это приращение ординаты точки кривой – графика ф-ии, а dy – приращение ординаты точки касательной. Dу = f’(x). Dx + a. Dx Þ Dу – dy = a. Dx, т. е. разность между приращением ф-ии и её дифференциалом является бесконечно малой более высокого порядка, чем Dx Þ при малых величинах Dx можно вместо формулы f(x+Dx)=f(x)+Dy использовать формулу f(x+Dx)»f(x)+dy.

Теорема Ролля.

Если ф-ия y=f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], дифференцируема хотя бы в открытом промежутке (a, b) и на концах промежутка её значения совпадают f(a)=f(b), то внутри промежутка найдётся такая точка x=c, что f’(c)=0. Док-во: если ф-ия сохраняет постоянное значение на промежутке [a, b], f(x)=f(a)=f(b), то f’(x)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку интервала (a, b). Если ф-ия f(x) не является постоянной: по т. В. существуют точки x1 и x2 на отрезке [a, b], в которых достигаются наименьшее m и наибольшее М значения ф-ии. Обе эти точки не могут располагаться на концах отрезка [a, b] (из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что m=M Þ ф-ия f(x) сохраняла бы постоянное значение): допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х1, т. е. а<x1<b Þ точка x1 является точкой локального экстремума; существует f’(x1) (по усл.) Þ f’(x1)=0 (по т. Ф.) Þ х1 можно принять за точку с. Теорема доказана.

Геометрический смысл: при условиях теоремы на графике существует точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох.

Теорема Лагранжа.

Если ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема хотя бы в интервале (a, b), то существует такая точка сÎ(a, b), что f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Док-во: применим т. К. к ф-иям f(x) и g(x)=x (для них выполняются все условия этой теоремы, включая g’(x)¹0). Учитывая, что g(b)=b, g(a)=a, g’(x)=1, получим (f(a)-f(b))/(b-a)=f’(c)/1, где с – точка, существующая в силу т. К. в интервале (a, b). Умножив обе части на b-a, придём к формуле f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) (формула Лагранжа / формула конечных приращений).

Геометрический смысл: при условиях теоремы на графике существует точка, в которой касательная параллельна хорде.

Теорема Коши.

Пусть ф-ии y=f(x) и y=g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируем хотя бы в открытом промежутке (a, b) и на этом промежутке g’(x) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка сÎ(a, b), что выполняется равенство (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c). Док-во: знаменатель 1ой дроби (g(b)-g(a))¹0 (из равенства g(b)=g(a) по т. Р. производная g’(x) обращается в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a, b), а это противоречит условию g’(x)¹0). Образуем вспомогательную ф-ию: F(x) = f(x) - f(a) - (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)). [g(x)-g(a)] – к ней применима т. Р.: F(x) непрерывна в [a, b] и дифференцируема в (a, b) как сумма ф-ий, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того F(a)=F(b)=0 Þ существует точка сÎ(a, b) такая, что F’(c)=0. F’(x) = f’(x) – (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)). g’(x). Подставляем x=c: f’(c) – (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)). g’(c) = 0. После деления на g’(x) приходим к формуле (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c).

Правило Лопиталя.

Пусть выполнены следующие условия:

1) Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.

2) limx®af(x)=limx®ag(x)=0.

3) g(x) и g’(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.

Если при этом существует limx®a(f’(x)/g’(x)), то существует и limx®a(f(x)/g(x)), причём limx®a(f(x)/g(x))= limx®a(f’(x)/g’(x)). Док-во: доопределим ф-ии f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами х и а, где х – точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Положим x<a. Обе ф-ии на отрезке [x, a] непрерывны, а в интервале (x, a) дифференцируемы Þ удовлетворяют условиям т. К. Þ существует такая точка сÎ(х, а), что выполняется равенство (f(a)-f(x))/(g(a)-g(x))=f’(c)/g’(c) или f(x)/g(x)=f’(c)/g’(c), т. к. f(a)=g(a)=0. При x®а будет с®а (x<c<a). По усл. т. существует limx®a(f’(x)/g’(x)); заменим х на с; перейдём к пределу в равенстве f(x)/g(x)=f’(c)/g’(c) при x®а: limx®a(f(x)/g(x))= limс®a(f’(с)/g’(с)) или limx®a(f(x)/g(x))= limx®a(f’(x)/g’(x)) (что то же самое).

Примечание: правило Л. можно применять и для раскрытия неопределённости вида ¥/¥; применимо оно и тогда, когда х®¥.

Теорема Ферма.

Если ф-ия y=f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная f’(x0) равна нулю. Док-во (для максимума в точке х0): пусть (х0-d, х0+d) – та окрестность, для точек которой выполняется неравенство Dу = f(x0+Dx) - f(x0) £ 0 (|Dx|<d). При Dx>0 будет Dy/Dx£0, поэтому f’пр(х0) = limDx®+0Dy/Dx£0; при Dx<0 будет Dy/Dx³0 поэтому f’л(x0) = limDx®+0Dy/Dx³0. По усл. т. существует производная f’(x0) Þ f’пр(х0) = f’л(x0) = f’(x0) Þ с одной стороны f’(x0)£0, с другой стороны f’(x0)³0, что возможно лишь тогда, когда f’(x0)=0.

Геометрический смысл: в случае максимума и в случае минимума касательные к графику в точке (x0,f(x0)) параллельны оси Ox.