Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную.Стр 1 из 21Следующая ⇒
^ 2. Грани числовых мн-в Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел. Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с³х(х³с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во. Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено. ^ Точные грани числовых мн-в Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х*, то оно min мн-ва Х Пример Х=[0,1) то max[0,1) не $. min [0,1)=0 Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва. Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x* Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань. Таким образом у огран. мн-ва обе грани $, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел. ^ 3. Числовые последовательности Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, …,хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти. !Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти. Основные способы задан. посл-ти: а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та. б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти. Пример: а) xn=5n x1=5, x2=10 б) x1=-2 xn=4n-1 –3, n=2,3… х2=-11, х3=-47 Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xn£M "n (xn³m "n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу. Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству ½xn½>А. Св-ва сходящихся посл-тей Теорема “Об единственности пределов” Теорема “Сходящаяся посл-ть ограничена”
Теорема “О сходимости монотон. посл-ти” ^ 4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет. Опр Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n >N:½xn-a½< e Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися. Дает сл. теорему Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+an, где посл-ть {an}®0, т.е. является б/м. Док-во а) Допустим, что xn®a и укажем посл-ть an удовл. равенству xn=a+an. Для этого просто положим an=xn-a, тогда при n®¥½xn-a½ равно растоянию от xn до а ® 0 => an б/м и из равенства преобразования определяю an получаем xn=a+an. Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением. Т-ма о св-вах б/м а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м 1) их сумма, разность и произведение являются б/м 2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м !О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м. Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>N ½xn½>c. !Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б. Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7… явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю. Теорема “Об единственности пределов” Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от противного) {xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.
Теорема “Сходящаяся посл-ть ограничена” Пусть посл-ть {xn}®а e >о N:"n>N½xn-a½<e эквивалентна а-e<xn<a+e "n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству½xn½£ c = max {½a-e½,½a+e½,½xn½,…,½xn-1½} Теорема “Об арифметических дейсьвиях” Пусть посл-ть {xn}®a,{yn}®b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем: а) предел lim(n®¥)(xn±yn)=a±b б) предел lim(n®¥)(xn*yn)=a*b в) предел lim(n®¥)(xn/yn)=a/b, b¹0 Док-во: а)xn±yn=(а+an)±(b+bn)=(a±b)+(an±bn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a±b. Аналогично др. св-ва. б) xn*yn=(а+an)*(b+bn)=ab+anb+abn+anbn an*b – это произведение const на б/м а*bn®0, anbn®0, как произведение б/м. => поэтому в правой части стоит сумма числа а*b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn*yn сводится к a*b Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…<xn<xn+1<…; неубывающей, если x1£x2£…£xn£xn+1£…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1³x2³…³xn³xn+1³… Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху. Теорема “О сходимости монотон. посл-ти” Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы. Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xn®supX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xn£x* " n. " e >0 вып-ся нер-во $ xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*-e при " n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-e£xn£x*+e при n>m эквивалентно ½xn-x*½<e при n>m. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти. Ф-ции одной переменной Обратные ф-ции ^ 6. Экспонента или число е Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1). Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е»2,7128…
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-10; просмотров: 26; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.15.135.63 (0.013 с.) |