Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Док-ть сходимость посл-ти (1)
Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Ясно что при знач. x=1,1/2,1/3,…,1/n,… значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми (1). Док-м что ф-ция у монотонно убывает и огран. сверху => монотонное возр. посл-ти (1) и ограниченность ее сверх. Поскольку lg x явл-ся монотонно возр., но монотонное убыв. ф-ции у и ее огранич. сверху эквивалентны том, что ф-ция lgy, которая равняется 1/хlg(1+x) (2) имеет те же самые св-ва, т.е. 0<x1<x2, то тогда 1/x1*lg(1+x1)>1/x2* *lg(1+x2) (3). Огранич. сверху $ M:1/xlg(1+x)£lgM "x>0 (4). Возьмем любую лин. ф-цию вида y=kx которая превосходит lg(1+x) при всех x>0. tga1=(lg(1+x1))/x1 a1>a2=>tga1>tga2 tga2=(lg(1+x2))/x2 Поскольку a1>a2, то tga1>tga2, а это равносильно равенству (3). Поскольку y>lg(1+x) "x>0 => kx> >lg(1+x) "x>0 Принимая во внимания ф-ции у с пос-ть xn приходим к нужному утверждению. Число е явл-ся неизбежным спутником динамических процессов: почти всегда показатели изменяющиеся во времени характеризующие такие процессы зависят от времени через экспонициальную ф-цию y=e^x и ее модификации. Пр-р: если ставка сл-ных % равна r и инвестор положил в банк первоначальный вклад равный Р причем % начисляются m раз в год (r- годовая ставка) тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл. % при m кратном их начислению. Sn=P(1+r/m)^mn (5) Предположим теперь % нач-ся непрерывным образом, т.е. число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что выражение (5) надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному нач-нию соот-ет наращенная ф-ция lim(n®¥)P(1+r/m)^mn=Pe^rn Lg(e)x имеет спец. Обозначение lnx. ^ Принцип вложенных отрезков Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],… Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.: 1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]Ì[an,bn], "n=1,2,…; 2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными. Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются. Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1. {bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n®¥)an и с2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) в силу условия 2) o= lim(n®¥)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с
Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку "n an£c£bn. Теперь докажем что она одна. Допустим что $ другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му. ^ Принцип вложенных отрезков Т-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку сÎвсем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются. Док - во. {an} пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ., т.е. $ числа c1=lim(n®¥)an и c2=lim(n®¥)bn. Докажем что с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)bn® lim(n®¥)an=c2-c1=c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для " n an£c£bn. Осталось доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c‘¹c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” {an}, {bn}, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с‘, т.к. an и bn® c и c‘ одновр. Противореч. док-ет т-му. Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной. Y=f(x); x –аргумент независ. перемен., y- зав. пер. X=Df=D(f) y={y;y=f(x),xÎX} x1ÎX1, y1=f(x1) 1) аналит. способ; 2)Табличный способ; 3) Графический способ; 4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т.е. $ m,M: m£f(x)£M "xÎX m£f(x) "xÎX => огр. сн.; f(x)£M, "xÎX=> огр. св. Если задано правило по которому каждому значению yÎY ставится в соответствие ® ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции f(x) и обозначают такую ф-цию x=f^-1(y).
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-10; просмотров: 24; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.100.120 (0.006 с.) |