Основные правила дифференцирования

Внимание! Для существования производной в некоторой точке необходимо, чтобы функция была непрерывна в этой точке. Однако не всякая непрерывная в точке функция имеет в ней производную.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю: .

Теорема 2. Пусть — дифференцируемые функции. Тогда:

1) производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

2) производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

в частности, постоянный множитель можно выносить за знак производной:

3) производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Теорема 3. Производная сложной функции равна ее производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента.

Действительно, пусть задана сложная функция . Тогда

Теорема 4. Производная обратной функции есть величина, обратная производной прямой функции.

Так, если — взаимно обратные функции и , то

Таблица производных

Приведем основные формулы дифференцирования функций. Пусть ~ дифференцируемая функция. Тогда

Выведем производные некоторых функций.

1. Если , то

Используя формулу разности синусов

получим

Так как любую тригонометрическую функцию можно вывести через синус, то нетрудно найти производные остальных тригонометрических функций.

2. Пусть . Тогда по теореме о производной сложной функции

3. Для функции воспользуемся правилом дифференцирования частного:

4. Представим как степенную функцию от тангенса. Тогда

5. Вычислим производную , где . Обратная функция имеет вид . Причем , если теореме дифференцирования обратной функции

и при производная не существует.

6. Производную получим из соотношения Следовательно,

Предельный анализ в экономике

Задача о производительности труда. Пусть функция выражает количество произведенной продукции у за время и необходимо найти производительность труда в момент времени . Очевидно, за период времени от до количество произведенной продукции изменится от и составит .

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е.

Производительность труда в момент времени можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при , т.е.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборники и решебники задач по математическому анализу

Пример №18

Объем продукции хлебобулочных изделий, произведенных бригадой пекарей в течение смены, может быть описан функцией

где — время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы.

Решение:

Производительность труда выражается производной

В заданный момент времени соответственно имеем:

Задача о предельных издержках производства. Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции . Тогда — приращение издержек производства с увеличением объема произведенной продукции на . Среднее приращение издержек производства на единицу продукции есть . Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельная полезность и другие предельные величины.

Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса во времени или относительно исследуемого фактора.

Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной, если приращение переменной стремится к нулю:

Эластичность дает приближенный процентный прирост функции при изменении независимой переменой на 1%. Например, эластичность спроса у относительно цены х показывает приближенно, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%. Если эластичность спроса по абсолютной величине больше единицы , то спрос считают эластичным, если — нейтральным, если — неэластичным относительно цены.

Пример №19

Опытным путем установлены функции спроса и предложения , где — количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, — цена товара. Найти:

1) равновесную цену, при которой спрос и предложение совпадают;

2) эластичность спроса и предложения для этой цены;

3) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение:

1) равновесная цепа определяется из условия :

откуда ден. ед.

2) найдем эластичности спроса и предложения:

Для равновесной цены имеем:

T.к. полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше 1, то спрос и предложение данного товара при рыночной цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. А именно, при увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0.3%, предложение увеличится на 0.8%.

3) при увеличении цены на 5% относительно равновесной спрос уменьшится па (5-0.3)%= 1.5%, и, следовательно, доход возрастет па 3.5%.

Пример №20

Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции выражается функцией . Требуется:

1) определить средние и предельные издержки при объеме продукции условных единиц;

2) найти эластичность издержек при выпуске продукции, равном и условных единиц.

Решение:

1) функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением

При средние издержки равны

Функция предельных издержек выражается производной

При предельные издержки составят

что вдвое меньше средних издержек.

2) эластичность издержек у относительно объема выпускаемой продукции х рассчитывается по формуле:

При . Это означает, что при увеличении количества произведенной продукции на 1% (с 1 до 1.01) издержки уменьшатся на 1%.

При , т.е. с увеличением количества произведенной продукции на 1% (с 3 до 3.01) затраты уменьшатся на 17%.