Расчет напряжений при изгибе

Формула для расчета нормальных напряжений при изгибе

Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рис. 32.2).

dN — элементарная про­дольная сила в точке сечения; dA — площадь элементарной площадки; dm — элементарный момент, образованный силой относитель­но нейтрального слоя. dN = σи dA; dm = σи ydA.

Рис. 32.2

Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении Вспомните свои лучшие путешествия: отзывы. Заработай на Отзывах.

.

- осевой момент инерции сечения.

Таким образом, .

Откуда Е / р = Mn / Jx. Ранее получено .

После ряда преобразований получим формулу для определения нормальных напряжений в любом слое поперечного сечения бруса:

,

где Jx — геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе изо­бражена на рис. 32.3.

Рис. 32.3

По эпюре распределения нор­мальных напряжений видно, что максимальное напряжение возника­ет на поверхности. Подставим в формулу напряже­ния значение у = уmax. Получим .

Отношение принято обозначать Wx:

Эта величина называется моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления.

Размерность — мм3.

Wx характеризует влияние формы и размеров сечения на проч­ность при изгибе.

Напряжение на поверхности .

2. Вращательное движение твердого тела

Движение твердого тела, при котором все точки, лежащие на некоторой прямой, принадлежащей телу или неизменно с ним связанной, остаются неподвижными в рассматриваемой системе отсчета, называется вращательным движением. Упомянутая выше прямая называется осью вращения.

 

Внутренние силовые факторы

В процессе деформации бруса, под нагрузкой происходит изменение взаимного расположения элементарных частиц тела, в результате чего в нем возникают внутренние силы. По своей природе внутренние силы представляют собой взаимодействие частиц тела, обеспечивающее его целостность и совместность деформаций. Для определения этих сил применяют метод сечений: надо мысленно рассечь брус, находящийся в равновесии, на две части и рассмотреть равновесие одной из них.

 

 

Под действием внешних нагрузок в поперечном сечении бруса возникают следующие внутренние силовые факторы (рис. 2.1):

 

N_z = N - продольная растягивающая (сжимающая) сила

M_z = T - крутящий (скручивающий) момент

Q_x (Q_y) = Q - поперечные силы

M_x (M_y) = M - изгибающие моменты

 

Рис. 2.1

 

 

Каждый внутренний силовой фактор определяется из соответствующего уравнения равновесия оставшейся после рассечения бруса части (уравнения статики):

 

 

Моменты инерции и сопротивления при изгибе бруса прямоугольного сечения

Моменты инерции наиболее распространенных фигур

Для прямоугольника сечением (рис. 2.22, а) осевой момент инерции относительно оси x, проходящей через центр тяжести сечения (центральной оси x): .

Выделим в сечении на расстоянии y элементарную площадку: .

Тогда

. (2.59)

 

 

Рис. 2.22. Моменты инерции плоских сечений

 

Аналогично найдем . (2.60)

Момент инерции этой фигуры относительно оси x₁, находящейся от центральной на расстоянии , согласно уравнению (2.56):

 

. (2.61)

 

Полярный момент кругового кольца относительно центра круга (см. подпункт 2.4.2.4):

 

.

 

Так как эта фигура имеет две взаимно-перпендикулярные оси симметрии, то

, (2.62)

 

а осевые моменты инерции сплошного круга

 

. (2.62 а)

 

Формулы (2.53), (2.56) позволяют определить геометрические характеристики сложных плоских сечений путем «разбивки» их на простые. Для наиболее широко распространенных стандартных профилей (двутавр, швеллер, уголок) геометрические характеристики сечений приведены в каталогах на сортовой прокат.

 

Моменты сопротивлений сечений

Моментом сопротивления сечения при изгибе относительно нейтральной оси называется отношение момента инерции относительно центральной оси к расстоянию от оси до наиболее растянутых волокон. Тогда на основании формул (2.59) – (2.62) моменты сопротивлений, мм³:

 

прямоугольного сечения: , ; (2.63)

кольцевого круга: ; (2.64)

сплошного круга: . (2.65)