Теорема об изменении кинетической энергии системы

 

Формулировка теоремы: изменение кинетической энергии системы при некотором перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, т. е.

, (3.12)

где и – кинетическая энергия системы в начале и в конце рассматриваемого перемещения.

При определении работ внутренних сил надо учитывать работу сил действия и работу сил противодействия. Хотя сила действия и соответствующая ей сила противодействия равны по модулю и противоположны по направлению, их суммарная работа часто не равна нулю. Это объясняется тем, что сила действия и сила противодействия приложены к разным точкам системы, а перемещения этих точек могут быть не одинаковыми.

Известно, что в системе, состоящей из твердых тел, соединенных между собой неупругими связями, при отсутствии сил трения в местах проскальзывания соприкасающихся тел, работа внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим методику решения задач с помощью уравнения (3.12) теоремы для установления зависимости между скоростью и перемещением выбранной точки системы, если система имеет одну степень свободы.

Вначале надо изобразить систему в произвольном положении и показать действующие активные силы, т. е. силы, совершающие работу.

Затем следует определить кинетическую энергию системы в начале и в конце заданного перемещения, используя формулы из подразд. 3.1. При этом скорости тел и точек надо выразить через искомую скорость, применяя известные соотношения из кинематики.

Далее необходимо определить сумму работ всех активных сил на заданном перемещении системы, используя формулы из подразд. 3.2. При этом перемещения точек приложения сил и угловые перемещения тел, к которым приложены моменты сил, надо выразить через перемещение точки, указанное в условии задачи. Зависимости между этими перемещениями определяются с учетом установленных ранее соотношений между скоростями тел и точек.

Наконец, нужно подставить найденные , и сумму работ в формулу (3.12) и из полученного уравнения определить искомую зависимость.

Касательно напряжение при кручении

Касательное напряжение при кручении - это срезывающее (сдвиговое) напряжение, возникающее в поперечном сечении вала. Его максимальное значение будет в волокнах близких к поверхности вала, а в центре оно равно нулю. Напряжение пропорционально приложенному крутящему моменту и расстоянию до волокон, где оно определяется, и обратно пропорционально полярному моменту инерции сечения. Для стержней с прямоугольным поперечным сечением максимальное значение напряжений будет наблюдаться в серединах больших сторон прямоугольника и будет равно нулю в ценре.

Вычисление работы различных сил

Работа силы (сил) над одной точкой

§ Работа нескольких сил определяется естественным образом как работа их равнодействующей (их векторной суммы). Поэтому дальше в этом параграфе будем говорить об одной силе.

При прямолинейном движении одной материальной точки и постоянном значении приложенной к нейсилы работа (этой силы) равна произведению величины проекции вектора силы на направление движения и величины совершённого перемещения^[3]:

Здесь точкой обозначено скалярное произведение^[4], — вектор перемещения; подразумевается, что действующая сила постоянна в течение всего того времени, за которое вычисляется работа.

Если сила не постоянна, то в этом случае она вычисляется как интеграл^[5]:

(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из последовательных перемещений если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).

Если существует зависимость силы от координат^[6], интеграл определяется^[7] следующим образом:

,

где и — радиус-векторы начального и конечного положения тела соответственно.

§ Cледствие: если направление движения тела ортогонально силе, работа (этой силы) равна нулю.

Полярный момент инерции и момент сопротивления вала

Напряжения при кручении

Принимая во внимание (2.33), закон Гука при кручении можно описать выражением:

 

. (2.34)

 

В силу гипотезы, что радиусы круглых поперечных сечений не искривляются, касательные напряжения сдвига в окрестностях любой точки тела, находящейся на расстоянии от центра (рис. 2.16, б), равны произведению

 

, (2.35)

 

т.е. пропорциональны расстоянию ее до оси.

Значение относительного угла закручивания по формуле (2.35) может быть найдено из условия, что элементарная окружная сила ( ) на элементарной площадке размером dA, расположенной на расстоянии от оси бруса, создает относительно оси элементарный момент (рис. 2.16, б):

 

.

 

Сумма элементарных моментов, действующих по всему поперечному сечению А, равна крутящему моменту М_Z. Считая, что :

.

Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику и носит название полярного момента инерции сечения.

Таким образом,

 

, (2.36)

 

откуда, угол закручивания единицы длины бруса

 

. (2.37)

 

Произведение называется жесткостью сечения бруса при кручении.

Полный угол закручивания, рад:

 

. (2.38)

 

Если крутящий момент и момент инерции сечения постоянны по длине стержня, то полный угол закручивания

 

. (2.39)

 

Решив совместно выражения (2.35) и (2.36), получим уравнение

 

, (2.40)

 

из которого следует, что напряжение в точке поперечного сечения прямо пропорционально расстоянию до центра сечения. При . Наибольшие напряжения возникают у наружной поверхности: .

Отношение полярного момента инерции к наибольшему радиусу r называется моментом сопротивления сечения кручению , мм³: