Порядок операций при обработке результатов серии измерений

При прямых измерениях:

1. Результаты каждого измерения записать в таблицу.

2. Вычислить среднее значение из n измерений

(1)

3. Найти погрешности отдельных измерений

.

4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений

(D x ₁)², (D x ₂)²,..., (D x_n)².

5. Оценить среднеквадратичную погрешность среднего значения

(2)

6. Определить коэффициент Стьюдента t _na (по таблице) для доверительной вероятности Р = 0,95 и числа произведенных измерений n.

7. Найти случайную погрешность результата измерений:

(3)

8. Если случайная погрешность результата измерений D x окажется сравнимой[2] с систематической (погрешностью прибора D x _пр), то в качестве погрешности результата измерений следует взять величину

. (4)

9. Окончательный результат записать в виде:

.

10. Оценить относительную погрешность результата измерений

.

При косвенных измерениях:

1. Для каждой непосредственно измеренной величины (X ₁, X ₂,..., X _m), входящей в расчетную формулу для определения X (X = f (X ₁, X ₂,..., X _m)), провести обработку в описанной выше последовательности, т.е. вычислить средние арифметические значения по формуле (1) и погрешности D X ₁, D X ₂,..., D X _m по формуле (4) для доверительной вероятности Р = 0,95.

2. При необходимости учесть систематическую (приборную) погрешность каждой серии измерений

.

где индекс i относится к соответствующей измеренной величине, а D X _{пр i} – систематическая погрешность прибора, используемого для измерения Х_i.

3. Вычислить наиболее вероятное значение X:

4. Вычислить частные производные при средних значениях величин X ₁, X _2, ..., X_m.

5. Определить абсолютную погрешность косвенного измерения X по общей формуле:

.

Здесь и выше m – число независимых непосредственно измеренных величин. Округлить полученный результат до двух значащих разрядов.

6. Записать окончательный результат в виде

.

7. Определить относительную погрешность косвенного измерения X:

.

Правила представления результата измерения

Все результаты измерений, а также вычисленный по ним окончательный результат приводят вместе с погрешностью, которую выражают в тех же единицах, что и саму измеряемую величину, например: l = (1,572 ± 0,004) м.

Среднее значение < x> необходимо округлять так, чтобы оно оканчивалось цифрой того же разряда, что и Δ х после её округления. Т.е. число и его погрешность всегда записывается так, чтобы их последние цифры принадлежали одному и тому же десятичному разряду. Значения погрешностей следует округлять, оставляя одну значащую цифру[3]. Округлять предпочтительно в сторону большего значения.

Примеры:

1. Получено: U = 124,4 В; Δ U = 1,1 В.

Следует записать: U = (124,4 ± 1,1) В.

2. Получено: V = 2,678•10³ см/с; Δ V = 3,2 см/с.

Следует записать: V = (2,678 ± 0,003) •10³ cм/с.

В промежуточных выкладках при расчете погрешностей нужно удерживать три-четыре значащие цифры.

При представлении окончательных результатов физических измерений часто применяют запись числовых значений в виде десятичной дроби, умноженной на необходимую степень числа десять.

Примеры:

1. При обработке группы результатов измерений получены:
< x> = 965,332 и Δ х = 8,35.

Результат округления записывают в виде: х = 965 ± 8.

2. При обработке группы результатов измерений получены:
< x> = 0,003893 и Δ х = 0,000282.

Результат округления записывают в виде: х = (38,9 ± 2,8)•10⁴.

3. Числа 3106; 0,0285; 0,120 записывают так:

3,106•10³; 2,85•10^-2; 1,2•10^-1.

Графическое представление результатов эксперимента

В ряде работ по результатам измерений требуется построить график.

График строят на миллиметровой бумаге, либо на бумаге в клетку. Допускается компьютерное представление графика.

Построение графика производится в следующем порядке:

1. Установить пределы измерения величин, откладываемых на координатных осях.

2. Выбрать масштаб по осям координат в зависимости от требуемой точности измерений. В качестве единицы измерения графика (клеточка или сантиметр на миллиметровой бумаге) следует брать только 10 ⁿ;2•10 ⁿ; 5•10 ⁿ единиц определяемой величины, где n –любое положительное или отрицательное число, начиная от нуля.

3. Масштаб выбирают с расчетом, чтобы поле графика приближалось к квадрату, а построенная прямая или кривая – к диагонали квадрата.

4. Выбирают начало координат. В начале координат могут стоят любые числа.

5. Наносят масштаб на координатные оси (на бумаге в клетку через 5 клеток, на миллиметровой бумаге – через 1, 2 или 5 см. Числа на координатных осях должны быть округленными. В конце координатных осей указывают величины, отложенные по осям координат, и единицы их измерения.

6. Наносят на график экспериментальные точки в виде крестиков, размах по высоте и ширине которых равен удвоенным погрешностям измерения, отложенным по осям величин. Значение координат точек на графике не пишут. Исключение делают только тогда, когда желают выделить какую-то точку.

7. Проводят при помощи лекала или линейки кривую или прямую, которая ближе всего подходит к экспериментальным точкам. Проведенная кривая является осреднением экспериментальных результатов. Поэтому экспериментальные точки могут быть как на кривой, так и под ней или над ней.

8. Проводя прямую линию (рис.1), нужно руководствоваться следующими правилами:

· прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначающие систематические погрешности отложенных величин;

· число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым;

· экспериментальные точки должны быть и выше, и ниже прямой во всем диапазоне значений x.

 

 

Рис.1. Прямая f = kx + b, проведенная через экспериментальные точки:

а, б – неправильно; в, д – правильно;

г – промах;

Иногда через набор точек невозможно провести прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис.1 г, д). Если из общего набора выпадает только одна точка (рис.1 г), то ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейность, то отсюда следует, что экспериментальные данные противоречат теоретической зависимости (f = kx + b). Если же наблюдаются случаи, показанные на рис.1 в или г, то можно сделать вывод, что экспериментальные данные подтверждают теоретическую зависимость.

Лабораторная работа № 3