Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

 

 

Частица движется вдоль оси x.

Энергия отсчитывается от дна ямы.

Яма описывается потенциальной энергией:

  l – ширина ямы.

Уравнение Шредингера для стационарного состояния в одномерном случае:

Из граничных условий следует:

1. Бесконечно высокие стенки → частица не проникает за пределы ямы →

2. На границе ямы  непрерывная функция  обращается в нуль:

3. В яме

(где

Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора:

Общее решение дифференциального уравнения:

Условие на границе:

т. е. уравнение Шредингера удовлетворяется только при собственных значениях

Т. о.  принимает дискретные значения – квантуется. Квантовые значения  называются уровнями энергии.

n – главное квантовое число определяет энергию уровня.

   

 на концах промежутка интегрирования

Собственным функциям соответствуют уровни энергии

Энергетический интервал между двумя соседними уровнями

Влияние размера ямы l

Свободный электрон в металле, размер ямы  т. е. энергетические уровни расположены так тесно, что спектр можно считать непрерывным для зоны проводимости.

Размер ямы соизмерим с атомом  т. е. дискретные значения энергии, спектр – линейчатый.

Влияние главного квантового числа n

 

 соседние уровни расположены очень тесно, можно говорить о непрерывных уровнях, т. е. о энергетической зоне (квазинепрерывные уровни).

частица в потенциальной яме и не может иметь энергию, меньше

Все остальные уровни  имеют

Контрольное задание 1.

    Оценить значения первых двух энергетических уровней электрона в потенциальной яме размером 1 Ǻ  

с бесконечно высокими стенками.

 

Масса электрона составляет 9,1 10^{-31 кг.}

 

Контрольное задание 2.

    Имеется проводник со свободной квантовой частицей (электроном) длиной X.

Найти вероятность P нахождения частицы (электрона) на отрезке [0; Δ x ].

 

Глава 4. ДВИЖЕНИЕ НАНОЧАСТИЦ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ

Осцилляции частиц в параболическом внешнем поле

Этот случай интересен для описания осцилляций молекул во внешнем параболическом поле (яме).

Пусть параболическая форма внешнего поля  не ограничена по координате x, т. е.:

   (1)

Или, для молекулы, с массой m и частотой собственных колебаний  , будет:

     (2)

Тогда, уравнение Шредингера приобретает вид:

  (3)

Аналитическое решение уравнения (3) (собственные функции), находят в виде степенного ряда. Соответствующий спектр энергий  дискретен и равен:

   (4)

Отметим, что энергетические уровни  линейно зависят от n и расположены через одинаковые промежутки. Кроме того, при n = 0, существует собственное значение с ненулевой энергией (энергия нулевых колебаний):

(5)