Прохождение частицы через потенциальный барьер

Туннелирование

В этом случае, внешний потенциал , имеет вид:

   (6)

Если обозначить области до барьера, в барьере и после барьера, соответственно, I, II и III, то в областях I и III, уравнение Шредингера примет вид

(7)

а в области II

(8)

В каждой из областей, решение уравнения Шредингера имеет вид:

    (9)

Постановка этого решения (8), в исходное уравнение (7), для областей I и III, дает связь волнового числа K, с общей энергией частицы E:

(10)

Или

   (11)

В последнем соотношении, знак «+» соответствует волне, идущей слева направо, а знак «-» - волне, идущей справа налево. Таким образом, получаем следующее решение уравнения Шредингера, в областях I и III:

   (12)

Соответственно, подстановка общего решения (9), в уравнение Шредингера, для II области (уравнение (8)), приводит к следующему характеристическому уравнению для

   (13)

Или

   (14)

Таким образом, после подстановки , в общее решение уравнения Шредингера (9), для области II, решение является суммой убывающей и возрастающей экспонент:

   (15)

где:

   (16)

В области III, волна идет слева направо, и граничное условие при  (граничное условие Зоммерфельда, определяющее единственность решения), требует, чтобы  равнялось 0, в решении

Условия сшивки решений на границе барьера имеют вид:

   (17)

, (производные) (18)

   (19)

    (производные) (20)

Таким образом, имеем 4 условия сшивки, и 5 неизвестных коэффициентов  Один коэффициент получается произвольным, в силу однородности уравнения Шредингера.

Тогда положим, коэффициент  Получаем после подстановки решений , в соотношения (17) - (20), следующее:

   (21)

    (22)

   (23)

   (24)

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны:

   (25)

есть коэффициент отражения, и определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера.

Отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волны:

   (26)

Определяет вероятность прохождения частицы через барьер.

С учетом системы уравнений (21) – (24), получаем:

   (27)

Из последнего соотношения видно, что вероятность прохождения барьера сильно повышается с уменьшением ширины барьера a, и уменьшением .

Эксоненциальная зависимость квеличения вероятности туннелирования (прохождения) частицей потенциального барьера, с уменьшением ширины барьера, использована при создании сканируюшего туннельного микроскопа, где атомно-острая игла размещается на наномеровом расстоянии от поверхности проводника, что значительно увеличивает ток туннелирования через барьер игла-проводник. В этом случае, расстояние от иглы до образца играет роль ширины барьера, и при a = 0,5 нм, высоте барьера  = 4 эв, создается заметный поток туннелирующих электронов, от образца к игле