Уравнение Шредингера в сферической системе координат

 

   (5)

Для стационарных условий (U (r) не зависит от t) решение ищется методом разделения переменных (метод Фурье), в виде:

    (6)

Ограничения на волновую функцию :

1. Однозначная;

2. Ограниченная;

3. Непрерывная;

4. Должна иметь непрерывные производные.

Этим условиям в области E>0, отвечает непрерывный спектр решений (свободный электрон), а в области E<0 – дискретный спектр решений (электрон, связанный с ядром атома).

5.3.  Решение уравнения Шредингера в области E<0

 

Решением уравнения Шредингера (5), в области E <0, для основного состояния электрона (n = 1), является:

    (6)

где a ₀   – радиус первой орбиты Бора.

Соответственно, решение для энергии электрона получается квантованным:

   (7)

где n=1, 2, 3, … - главное квантовое число; m_e  - масса электрона; Z – заряд ядра.

Если энергию электрона выразить в электрон-вольтах, то выражение (8) запишется:

   (9)

5.4.  Квантование волновой функции Ψ (r, θ, φ)

 

Поскольку решение уравнения Шредингера ищется в сферических пространственных координатах, то получаемая волновая функция квантуется по координатам r, θ, φ и зависит от 3-х квантовых чисел:

n –главного квантового числа; l – орбитального квантового числа; m – магнитного квантового числа.

Отметим, что общая энергия электрона E_n, в силу симметрии зависит лишь от n.

Квантование волновой функциивозникает в силу требований к ней конечности и непрерывности.

   (10)

Волновая функция (10) называется атомной орбиталью.

Орбитальное квантовое число l – определяет характер симметрии (форму) электронного облака. Так, при l = 0 наблюдается сферическая симметрия.

Значения l часто обозначаются буквами:

Значения квантового числа l меняются от 0 до n -1.

Магнитное квантовое число m характеризует расположение атомной орбитали в пространстве. Значения магнитного квантового числа m меняются от - l до + l.

В 1925 году было обнаружено, что электрон имеет собственный момент (спин). Соответственно происходит расщепление энергетических уровней в зависимости от значения спинового квантового числа m_s  = ± ½.

Таким образом, основное состояние электрона в атоме водорода характеризуется 4-мя квантовыми числами: n = 1, l = 0, m = 0, m_s  = ± ½.

Энергия электрона зависит только от главного квантового числа n.

Соответственно, состояния электрона при различных l, m, m_s, называются вырожденными, а число таких состояний – кратностью вырождения уровня n.

5.5.  Влияние орбитального квантового числа ℓ на форму электронного облака

 

s -, p - и d - орбитали атомов соответствуют орбитальным квантовым числам ℓ = 0, 1, 2. Числа справа: 1, 2 и 3 — значения главного квантового числа n.