Обработка результатов многократного прямого измерения при малом числе замеров методом Стьюдента.

Все измерения можно разделить на два вида: прямые и косвенные.

Измерение называют прямым, если физическая величина измеряется непосредственно путем снятия данных со шкалы прибора.

Измерение называется косвенным, если физическая величина получается в результате вычисления с использованием математической формулы.

Нахождение погрешности прямых измерений:

1. Для выбранного числа измерений n измеряемой величины  находят среднее арифметическое значение измеряемой величины:

(1)

2. Вычисляют стандартное отклонение от среднего значения по формуле:

(2)

- Для вычисления среднего значения и стандартного отклонения по формулам (1) и (2) можно использовать обычный калькулятор, однако этот способ является время затратным методом. Использование специальных калькуляторов позволяет упростить процедуру вычисления.

- При использовании инженерного калькулятора его необходимо перевести в режим вычисления стандартного отклонения (Standard Deviation). Как правило, это делается при помощи последовательного нажатия клавиш Shift+SD, при этом на дисплее индицируется режим «SD». За тем последовательно вводятся значения , сопровождаемые нажатием клавиши «DATE», после которого высвечивается номер только что введенного значения . Вслед за тем как введены все  значений, нажатие клавиши «»приводит к индикации среднего значения, а последующее нажатие клавиши «» выводит на дисплей величину стандартного отклонения.

	Рис. 1.1

 

- При использовании компьютера с операционной системой Windows необходимо перейти в раздел «Стандартные программы» «Калькулятор» и выбрать режим «Статистика». Последовательно ввести значения , сопровождаемые ввод каждого значения нажатием клавиши «Add». Вслед за тем как введены все  значений, нажатие клавиши «» приводит к индикации среднего значения, а последующее нажатие клавиши «» выводит величину стандартного отклонения.

- для расчета можно использовать утилиты в сети Internet, например:

https://ru.numberempire.com/statisticscalculator.php

3. Выбирают доверительную вероятность или надежность  которая обычно лежит в диапазоне  равна доле (в %) тех измерений, у которых ошибка удовлетворяет условию:

(3)

Величина доверительного интервала обычно указывается в Государственных Стандартах (ГОСТ) на проведение различных измерений. При проведении измерений во время лабораторных работ на кафедре физики рекомендуется использование значения

4. По заданной надежности a и проведенному числу измерений  находят с помощью таблиц значение соответствующего коэффициента Стьюдента .

Таблица коэффициентов Стьюдента  (табл. 1.1).

 

n
	a=0,9	a=0,95	a=0,99
2	6,31	12,7	63,7
3	2,92	4,3	9,92
4	2,35	3,18	5,84
5	2,13	2,78	4,6
6	2,02	2,57	4,03
7	1,94	2,45	3,71
8	1,89	2,36	3,5
9	1,86	2,31	3,36
10	1,83	2,26	3,25

 

5. Вычисляют абсолютную ошибку прямого многократного измерения в виде:

(4)

Как видно из (4), погрешность среднего при достаточно больном числе измерений  уменьшается обратно пропорционально корню из числа измерений.

(5)

6. Окончательный результат прямого измерения записывается c указанием единиц измерения для величины x:

7. Вычисляется относительная погрешность измерений :

(6)

Как видно из формулы (6) относительная погрешность выражается в процентах. Относительную погрешность обычно используют для контроля правильности проведенных измерений. Если , то можно считать, что измерения проведены правильно, то есть отсутствуют выбросы при проведении измерений и грубые ошибки при вычислениях.

 

(7)

1.2. Нахождение погрешности косвенных измерений.

где искомая величина F является функцией одной или нескольких величин x, y, z,…

1. Все величины, которые входят в формулу (7) как аргументы следует записать в форме обработанных результатов прямых измерений:

В целях упрощения надежность величин  берется для всех величин одинаковой, хотя при необходимости это ограничение может быть снято.

Для величин являющихся табличными значениями погрешность принимается равной половине последней значащей цифры.

2. Подсчитывается среднее значение величины . Для этого в формулу (7) в качестве аргументов подставляются средние значения соответствующих величин:

3. Вычисляются частные производные функции  по всем аргументам:

4. Рассчитываются численные значения частных производных для средних значений аргументов

5. Находим абсолютную погрешность по формуле:

.

6. После этого по формуле находят относительную ошибку:

7. Если функция  является одночленом,т.е. достаточно простой и содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения, и при этом не содержит никаких других действий с этими числами и переменными, то вычисления погрешности можно упростить. Функцию сначала логарифмируют, а затем находят частные производные  по всем аргументам:

После этого находят численные значения этих частных производных для значений аргументов, равных:

Затем вычисляется относительная ошибка величины  по формуле:

Из последней формулы можно увидеть, что в этом случае относительная погрешность косвенного измерения определяется суммой относительных погрешностей прямых измерений всех аргументов.

Абсолютная погрешность определяется по формуле:

 

Пример №1.

Вычислить ускорение свободного падения g и погрешность D g из измерений длины L физического маятника, совершившего n колебаний за время t:

n =15

Решение:

 

 

Пример №2.

Определение момента инерции маховика динамическим методом:

Решение:

 Решение: