Тема: Фотоэффект. Эффект Комптона. Фотоны.

Волны де Бройля

Основные формулы

Энергия кванта света (фотона):	eg = hν, гдеh = 6,626·10^-34Дж·с - постоянная Планка, ν (Гц) – частота колебания.	(1)
Импульс фотона:	,	(2)
Масса фотона:	, где с = 3·10^8 м/с – скорость распространения света в вакууме.	(3)
Длина волны де Бройля:	, если v<<c	(4)
Длина волны де Бройля:	еслиυ ≈ с, то ,	(5)
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:	, где АВЫХ – работа выхода электрона из металла,me = 9,1·10^-31 кг – масса электрона,N –число фотонов, одновременно передающих энергию электрону, испускаемому металлом (N=2 .	(6)
Уравнение Эйнштейна для многофотонного внешнего фотоэффекта:	,. где АВЫХ – работа выхода электрона из металла,me = 9,1·10^-31 кг – масса электрона.	(6а)
Максимальная кинетическая энергия электронов, вылетевших с поверхности:	Wк мах = e·Uз , где Uз – задерживающая разность потенциалов.	(7)
Максимальная скорость электронов вылетевших с поверхности	.	(8)
Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта	.	(9)
Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии:	, где φ – угол рассеивания электрона.	(10)
Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность	p = [ Ee / c ] (1 + ρ) = ω (1 + ρ), где Ee = Nhυ – облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени);ρ - коэффициент отражения; ω- объемная плотность энергии излучения.	(11)
Связь де Бройлевской волны частицы с импульсом p:	λ = h / p, где h – постоянная Планка. h = 6,63 * 10 ^– 34 Дж * с.	(12)
Фазовая скорость волны де Бройля:	υфаз = ω / k = E / p = c^2 / υ, где E = ħ ω – энергия частицы (ω - круговая частота); p = ħ k – импульс, k = 2 π / λ- волновое число.	(13)
Групповая скорость волны де Бройля:		(14)
Длина волны Комптона	,гдеm- масса электрона, с- скорость света в вакууме.	(15)

Методические указания

Гипотеза Планка, что атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями - квантами, позволила объяснить явление фотоэффекта.

Так как излучение испускается определенными порциями, то энергия осциллятора e_gможет принимать только определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e₀.

При решении задач на явления фотоэффекта необходимо выяснить, какой тип фотоэффекта происходит согласно условиям задачи, выбрать соответствующее ему выражение или закон и найти искомую величину.

 В случае нелинейного (многофотонного) фотоэффекта плотность фотонов в лазерных пучках очень велика, поэтому фотоэлектрон может приобрести энергию, необходимую для выхода из вещества, даже под действием света с частотой, меньшей красной границы при однофотонном фотоэффекте. Таким образом, красная граница нелинейного фотоэффекта смещается в область более длинных волн.

Наиболее полно корпускулярные свойства света проявляются в эффекте Комптона.

Эффект Комптона - это результат упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными электронами вещества. При решении задач на эффект Комптона необходимо использовать законы сохранения энергии и импульса.

Примеры решения задач

Пример №1. Электрическая лампа мощностью 100Вт испускает 3% потребляемой энергии в форме видимого света (λ=550 нм) равномерно по всем направлениям. Сколько фотонов видимого света попадает за 1с в зрачок наблюдателя (диаметр зрачка 4 мм), находящегося на расстоянии 10 км от лампы?

Дано:	Решение:
r = 10000 м Pл = 100 Вт λ = 550 нм = = 5,5·10^-7 м d = 4·10^-3м t = 1 c	Полная световая энергия, приходящаяся на единицу площади поверхности, удаленной от источника на расстояние r, равна: Sср=4πr^2, Wсв=0,03·100вт·1с/4πr^2. Энергия одного кванта света εγ= hυ=h c /λ. Число фотонов, попадающих на единицу площади поверхности, удаленной на расстояние r от источника:
Nγ=?

N ` _γ=0,03·P·t·λ/4·π·r²·h·c.

Площадь зрачка наблюдателя

S_зр=π·d²/4.

Тогда

N_γ= N`_γ· S_зр =0,03·P·t·λ·π·d²/16·π·r²·h·c.

Проверка единицы измерения расчетной величины:N_γ =1=Дж·м²·м·с/м²·Дж·м·с=1

Расчет числового значения:N_з=8,3·10⁴ фотонов.

Ответ: N_з=8,3·10⁴фотонов.

 

Пример №2. Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой υ₁ = 2,2·10¹⁵, полностью задерживается разностью потенциалов U_з1 = 6.6 В, а вырываемые светом с частотой υ₂ = 4,6·10¹⁵ Гц разностью потенциалов U_з2 = 16.5 В.

Дано:	Решение:
υ1 = 2,2·10^15 Гц Uз1 = 6.6 В υ2 = 4,6·10^15 Гц Uз2 = 16.5 В	Запишем уравнение Эйнштейна для явления внешнего фотоэффекта: h·υ1 = Aвых+е·Uз1, h·υ2 = Aвых+е·Uз2.
h=?

Выразим изА_вых:

А_вых= h·υ₁- е·U_з1,

и подставим в уравнение Эйнштейна

h·υ₂ = h·υ₁ -е·U_з1+ е·U_з2.

Преобразуем так:

h·(υ₂-υ₁) = е·(U_з2-U_з1).

И получим:

h = e·(U_з1-U_з2)/(υ₂- υ₁).

Проверим единицу измерения:

(h) = Дж·с=Кл·В/с^-1= Дж·с

Расчет:

h=1,6·10^-19Кл·9,9В/2,4·10¹⁵=6,6·10^-34Дж·с

Ответ: h=6.6·10^-34Дж·с.

Пример №3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь прошел ускоряющую разность потенциалов U=30кВ. Найти длину волны де Бройля.

Дано:	Решение:
v0 = 0 me=9.1*10^-31кг Uуск.=30·10^3=3·10^4В	По определению длина волны де Бройля равна: λ = h/p. Определим, классически или релятивистки движется электрон. Для этого найдем кинетическую энергию электрона и сравним ее с энергией покоя.
λ=?

Е₀=m_0·c².

Если Т_к=<T₀, то движение электрона является релятивистским,

еслиТ_к<<T₀, то классическим.

Т = е·U₁ = 1.6·10^-19 ·3·10⁴Дж = 4.8·10^-15Дж = 3·10⁴ эВ; еU = m_{e ·}v² / 2.

.

E₀ = m_0·c²=0.5 МэВ = 5·10⁵эВ

Т. к Т<<Е₀- имеем дело с классическим случаем движения электрона.

Тогда

.

Расчет числовой величины:

λ= 11, 61 10 ^–25 м.

Ответ: λ = 11, 61 * 10 ^–25 м.

Пример №4. Определить максимальную скорость υ_мах фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ₁ = 0,155 мкм; 2) γ – излучением с длиной волны λ₂ = 2,47 пм.

Дано:	Решение:
λ1 = 0,155 мкм = = 0,155 10 ^–6 м λ2 = 2,47 пм = = 2,47 10 ^–12 м А вых = 4,7 эВ	Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта: ε = А вых + Ек мах. Энергия фотона: ε = hc / λ. Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена по классической формуле:
υмах

Е_к = m₀υ ² / 2,

или по релятивистской:

Е_к = (m - m₀) с ².

Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона во много раз меньше энергии покоя электрона, то может быть применена классическая формула; если же энергия фотона сравнима с энергией покоя электрона то вычисление по классической формуле приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по релятивистской формуле.

ε₁ = hc / λ_1.

ε₁ = 8 эВ.

Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая:

ε₁ = А _вых + m₀υ ² / 2,

откуда:

.

Расчет:

υ_мах = 1,08 Мм/с.

Вычислим энергию фотона γ – излучения:

ε₂ = hc / λ₂ = 8,04 * 10 ^–15 Дж = 0,502 МэВ.

Работа выхода электрона пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ – фотона, поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:

Е_{к мах} = ε₂ = 0,502 МэВ.

Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии:

Е_{к мах} = Е₀(1/  – 1),

где Е₀ = m₀ с ², выполнив преобразования получим:

β =  (2 Е₀ + Е_{к мах}) Е_{к мах} / (Е₀ + Е_{к мах}) = 0,755

Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых γ – излучением:

υ_мах = с β = 226 Мм/с.

Ответ: 1) υ_мах = 1,08 Мм/с. 2) υ_мах = 226 Мм/с.

Пример №5. Определить красную границу λ₀ фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ= 400 нм максимальная скорость фотоэлектронов равна υ_мах = 0,65 Мм/с?

Дано:	Решение:
λ= 400 нм = = 4 * 10 ^–7 м υмах =0,65мм/с = = 6,5 * 10 ^5 м/с	При облучении светом, длина волны λ0 которого соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а,следовательно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна для фотоэффекта запишется в виде: ε = А вых + Ек;
λ0 =?

hc / λ₀ = А,

отсюда:

λ₀ = hc / А.

Работу выхода для цезия определим с помощью уравнения Эйнштейна:

А _вых = ε - Е_к = hc / λ - m υ ² / 2 = 3,05 * 10 ^–19 Дж,

тогда:

λ₀ = 640 нм.

Ответ: λ₀ = 640 нм.

Пример №6. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ = 90 ⁰. Энергия ε^, рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ε фотона до рассеяния.

Дано:	Решение:
θ = 90 ^0 ε^, = 0,4 МэВ	Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона в виде: λ^, - λ = 2 * (2 π ħ / m с) sin^2 θ/2,
ε =?

преобразуем, с учетом:

ε = 2 π ħ с / λ,

а длины волн λ^, и λ выразим через энергии ε^, и ε соответствующих фотонов:

2 π ħ с / ε^, - 2 π ħ с / ε = (2 π ħ с/ m с²) 2 sin² θ/2

ε = (ε^, m с² ) / m с² - ε^, 2 sin² θ/2 = ε^, Е₀ / Е₀ – 2 ε^,sin² θ/2, где Е₀ = m₀ с ²

Расчет: ε = 1,85 МэВ.

Ответ: ε = 1,85 МэВ.

Пример №7. Параллельный пучок света длиной волны λ = 500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление р = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию фотонов n в пучке; 2) число фотонов n₁, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1 с.

Дано:	Решение:
λ = 500 нм S = 1 м^2 р = 10 мкПа t = 1c	Концентрация фотонов n в пучке может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии ω на энергию одного фотона ε n = ω / ε. Из формулы p = ω * (1 + ρ), определяющей давление света, где – коэффициент отражения найдем:
n=? n1=?

ω = p / (1 + ρ).

И получим:

n = p / (1 + ρ) ε.

Энергия фотона зависит от частоты, а следовательно и от длины световой волны:

ε = hυ = hc / λ.

Получим искомую концентрацию фотонов:

n = p λ / (1 + ρ) hc.

Коэффициент отражения ρ для зачерненной поверхности принимаем равным нулю.

Расчет:

n = 2,52 * 10 ¹³ м^–3.

Число фотонов n₁, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1 с, найдем из соотношения n₁ = N / St, где N – число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но N = ncSt, следовательно, n₁ = ncSt / St = nc

Расчет:

n₁ = 7, 56 * 10 ²¹ м^–2 с ^–1

Ответ: n = 2,52 * 10 ¹³ м^–3, n₁ = 7, 56 * 10 ²¹ м^–2 с ^–1.