Кафедра «Общая и теоретическая физика»

 

 

Потемкина С.Н., Сарафанова В.А.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ

 

3^й семестр

 

Модуль 6

 

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ И АТОМНОЙ ФИЗИКИ

Практическое занятие №6.

Тема: Тепловое излучение.

Основные формулы

Энергетическая светимость		(1)
Спектральная плотность энергетической светимости	,	(2)
Спектральная поглощательная способность	.	(3)
Закон Кирхгофа:	.	(4)
Закон Стефана-Больцмана:	. σ - постоянная Стефана-Больцмана,T- термодинамическая температура. σ = 5,67 * 10^-8 Вт/(м^2 * К^4). .	(5)
Закон смещения Вина:	, b- постоянная Вина. b = 2,9 · 10^-3 м ·К	(6)
Интегральная энергетическая способность тела:	.	(7)   (8)
Радиационная температура:		(9)
Цветовая температура:		(10)
Связь между радиационной температурой и истинной:	, где АТ – поглощательная способность серого тела.	(11)
Формула Планка для универсальной функции Кирхгофа:	, или , или ,	(12)     (13)     (14)

Методические указания

Известно, что тела, нагретые до достаточно высоких температур, светятся. Свечение тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым (температурным) излучением. Тепловое излучение совершается за счет энергии теплового движения атомов и молекул вещества (т.е. за счет внутренней энергии вещества). Оно свойственно всем телам, температура которых выше 0 К. Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положение максимума которого зависит от температуры. При высоких температурах излучаются короткие (видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны, а при низких температурах – преимущественно длинные (инфракрасные).

Особенностью теплового излучения является его равновесность, т. е. тело в единицу времени излучает столько же энергии, сколько и поглощает.

При изучении теплового излучения вводят понятия черного и серого тел.

Тело, способное поглощать полностью при любой температуре все падающее на него излучение любой частоты, называется абсолютно черным (АЧТ). Тело, поглощательная способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности, называется серым (СТ).

При решении задач на определение характеристик теплового излучения удобно использовать определения его характеристик (1), (2), (3) и три закона теплового излучения: закон Кирхгофа (4), закон Стефана –Больцмана (5) и закон смещения Вина (6).

При определении температуры нагретых тел с помощью законов теплового излучения, принято использовать три вида температуры нагретых тел.

1. Радиационная температура – это такая температура, при которой энергетическая светимость АЧТ равна энергетической светимости исследуемого тела. Для ее расчета используют закон Стефана-Больцмана (5). Радиационная температура всегда меньше истинной температуры тела.

2.  Для серых тел или близких к ним по свойствам тел, распределение энергии в спектре такое же, как и в спектре АЧТ, имеющего такую же температуру. Поэтому к серым телам применим закон смещения Вина. Зная длину волны, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела, можно найти температуру, называемую цветовой температурой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной.

3. Яркостная температура – это температура черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна плотности энергетической светимости исследуемого тела. Истинная температура тела всегда больше яркостной.

Примеры решения задач

Пример №1. Найти температуру Т печи, если известно, что излучение из отверстия в ней площадью S = 6,1 см² имеет мощность N = 34,6 Вт. Излучение считать близким к излучению АЧТ.

Дано:	Решение:
S = 6.1см^2 N = 34.6 Вт	По определению: Rэ= W/S·t или
Т –?
	Rэ = N/S	(1)

Согласно закону Стефана–Больцмана для АЧТ:

.

(2)

Сравнив (1) и (2) получим:

Т= .

Проверка единицы измерения:

.

Расчет: К.

Ответ: Т = 1000 К

Пример №2. Температура вольфрамовой спирали 25-ваттной электрической лампочки T = 2450 К. Отношение ее энергетической светимости к энергетической светимости АЧТ при данной температуре равно k = 0.3. Найти площадь излучающей поверхности.

Дано:	Решение:
N = 25Вт T = 2450К k= 0.3	Для нечерного тела величина энергетической светимости равна: Rэ= k1*σ*T^4, а по определению Rэ^'= N/S. Тогда
S =?

N/S = k_*σ_*T⁴,

S = N/σ_*k_*T⁴.

Проверка единицы измерения:

[S] = м² = Вт_*м²_*K⁴/Вт_*K⁴ = м²;

Расчет числового значения: S = 0.4079_*10^{-4 м2}≈ 0.41см²;

Ответ: S = 0.41 см²

Пример №3. Какую энергетическую светимость R_э имеет АЧТ, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны λ = 484 нм?

Дано:	Решение:
λmax= 484 нм	Согласно закону Стефана-Больцмана: Rэ = σ·T^4 (1).
Rэ =?

Для нахождения T воспользуемся законом Вина:

λ_m= C₁/T,

отсюда:

T=C₁/λ.

Получим:

R_э = (σ_*C₁⁴)/λ⁴.

Проверка единицы измерения:

[R_э] = Дж/м²·с = Вт/м²·К⁴ ·м⁴_*К⁴/м⁴ = Дж/с·м²;

Расчет числового результата:

R_э = (5,67·10^-8·2.9⁴·10^-12)/(484)⁴·10^-36 = (10²⁰·5.67·2.9⁴)/(484)⁴ = = 73.5 МВт/м²

Ответ: R_э = 73.5 МВт/м².

Пример №4. Абсолютно черное тело имеет температуру T₁ = 2900 К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости изменилось на ∆λ = 9мкм. До какой температуры T₂ охладилось тело?

Дано:	Решение:
T1 = 2900 К ∆λ = 9мкм = 9·10^-6 м	Согласно закону Вина: λmax2 = C1/T2, гдеT1-начальная, а T2-конечная температура тела;
T2=?

λ_max1 = C₁/T₁

Т.к. тело охлаждается, то T₂ < T₁ , аλ_max2 >λ_max1; λ_max2 = λ_max1+∆λ

И получим:C₁/λ_max+∆λ = T₂

T₂ = C₁/(C₁/T₁)+∆λ = 1/(1/T₁)+(∆λ/C₁) = C₁·T₁/(∆λ·T₁+C₁)

Проверка единицы измерения:[T₂] = K= м·К/м = К;

Расчет числового значения:

T₂ = 290 К;

Ответ: T₂ = 290 К.

Пример №5. При нагревании АЧТ длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости изменилась от 690 до 500 нм. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?

Дано:	Решение:
λ1 = 690 нм λ2=500 нм	По закону Стефана – Больцмана для АЧТ имеем:
Rэ2 / Rэ1=?

где Т₁ и Т₂ – температуры соответствующие значениям λ₁ и λ ₂.

Значения температур найдем из 1-го закона Вина:T₁=С₁/λ_max1

T₂=C₁/λ_max2

Получим: R_э1 = σ ·С₁⁴/λ_max1⁴; R_э2 = σ ·С₁⁴/ λ_max2⁴;

Найдем отношение:

R_э2/R_э1=σ·С₁⁴·λ_max1⁴ / λ_max2⁴· σ·C₁⁴=(λ_max1/λ_max2)⁴

Проверка единицы измерения:

[R_э2/ R_э1]=1 (безразмерная величина)

Расчет числового значения:

R_э2/R_э1=3.63 (раз)

Ответ: R_э2/R_э1=3.63 раз.

Пример №6. Исследования спектра излучения Солнца показывают, что максимум спектральной плотности излучательной способности соответствует длине волны λ=500 нм. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, определить: 1) излучательность R_e Солнца; 2) поток энергии Ф, излучаемый Солнцем; 3) m массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.

Дано:	Решение:
λ = 500 нм t = 1 c	1. Излучательность Re АЧТ выражается законом Стефана-Больцмана: Re = σ * T^4. Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина: λmax = b / T.
Re -? Ф -? m -?

Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в закон Стефана-Больцмана, получим:

R_e = σ(b / λ_max)⁴.

Расчет: R_e= 64 МВт / м²

2. Поток энергии Ф, излучаемый Солнцем, равен произведению излучательности Солнца на площадь S его поверхности:Ф = R_eS

Или Ф = R_e 4 πr²,

гдеr – радиус Солнца. Подставив в формулу значения π, r и R_e и, произведя вычисления, получим:         Ф = 3,9 10 ²⁶ Вт.

3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t = 1 c, определим применив закон пропорциональности массы и энергии Е = m с². Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощности излучения) на время:    Е = Ф t.

Следовательно,        Ф t = m с²,

Откуда: m = Ф t / с².

Расчет: m = 4 10 ¹² г.

Ответ: m = 4 10 ¹² г.

Пример №7. Определить силу тока, протекающего по вольфрамовой проволоке, диаметром d = 0,8 мм, температура которого в вакууме поддерживается постоянной и равной t = 2800 ⁰ С. Поверхность проволоки считать серой с поглощательной способностью А_Т = 0,343. Удельное сопротивление проволоки при данной температуре ρ = 0,92 * 10 ^–4 Ом см. Температура окружающей проволоку среды t₀= 17 ⁰ С.

Дано:	Решение:
d = 0,8 мм = 8 10 ^–4 м t = 2800^0 С Т = 3073 К АТ = 0,343 ρ = 0,92 10 ^–4 Ом см = = 9,2 10 ^–7 Ом м t0= 17 ^0 С T0 = 290 К	Ризл = АТσT^4S Рпогл = АТσT0^4S Р = (Ризл - Рпогл) = АТσS (T^4 - T0^4) Р = I ^2 R S = π d l; R = ρ l / Sсеч; Sсеч = π d ^2 / 4 Расчет: I = 48,8 А.
I =?

Ответ: I = 48,8 А.