Тема: элементы атомной физики. Закон радиоактивного распада.

Основные формулы

Закон радиоактивного распада:

,

(1)

гдеN₀ - начальное количество радиоактивных ядер; l - постоянная радиоактивного распада; t - время радиоактивного распада.

,

(2)

 Период полураспада:

(3)

Средне время жизни радиоактивного ядра:

(4)

Активность нуклида:

,

(5)

 Схема a-распада:

(6)

 Схема b^- -распада:

(7)

Схема b⁺ -распада:

(8)

 

где

Дефект массы:

(9)

Энергия связи:

(10)

Масса электрона:

(11)

Масса протона:

(12)

Масса нейтрона:

(13)

Схема распада свободного нейтрона:

(14)

Энергия покоя частицы:

(15)

Методические указания

Ядро характеризуется зарядом и массой.

Одной из важнейших характеристик атомного ядра является зарядовое число – Z. Оно равно количеству протонов, входящих в состав ядра. Заряд ядра равен +Ze, где Z- атомный номер (совпадающий с порядковым номером элемента в периодической системе Менделеева), а +e-положительный элементарный заряд. Частицы, входящие в состав ядра (протон и нейтрон) называются нуклонами («ядерными частицами»).

Число нуклонов (суммарное число протонов и нейтронов) в ядре обозначается буквой А и называется массовым числом ядра.

 Число нейтронов в ядре равно:

Для обозначения ядер применяется символ: , где под X подразумевается химический символ данного элемента. Слева вверху ставится массовое число, слева внизу- зарядовое число.

Ядра с одинаковым

Ядра с одинаковым массовым числом называются изобарами.

Ядра с одинаковым числом нейтронов называются изотонами.

Радиоактивные ядра с одинаковыми  и А, отличающиеся периодом полураспада, называются изомерами.

 Масса ядра меньше суммы масс входящих в него частиц. Это обусловлено тем, что при объединении нуклонов в ядро выделяется энергия связи. Т.к. удельная энергия связи зависит от массового числа, то энергетически выгодными являются следующие процессы: 1) деление тяжелых ядер на несколько более легких ядер; 2) слияние (синтез) легких ядер в одно ядро. Оба процесса сопровождаются выделением большого количества энергии.

 Для деления тяжелого ядра ему необходимо сообщить дополнительную энергию (энергию активации). Для слияния легких ядер в одно ядро они должны подойти друг к другу на очень близкое расстояние, и преодолеть кулоновское отталкивание ядер.

Примеры решения задач

Пример №1. Объясните отличие изотопов и изобаров.

Решение. Отличие между изотопами и изобарами вытекает из их определений.По определению: изотопы – это ядра с одинаковыми Z, но разными А, а изобары это ядра с одинаковыми А, но разными Z.

Пример №2. Искусственно полученный радиоактивный изотоп кальция ⁴⁵Ca₂₀ имеет период полураспада, равный 164 суткам. Найти активность 1 мкг этого препарата.

Дано:	Решение:
T = 14169600 c m = 10 ^– 9 кг Na =6,02*10^26 1/кг-атом m0 = 45 кг/кг-атом	Количество атомов радиоактивного вещества ∆N, распадающихся за время ∆t, определяется формулой: |∆N | = (ln 2 / T) N ∆t. где T – период полураспада изотопа, N - число его атомов в данной массе.
A =?

Число атомов N связано с массой препарата m соотношением:

N = (m / m₀) N_a,

где N_a – число Авогадро и m₀ – масса одного кг-атома.

Расчет:

A = |∆N | / ∆t = ln 2 m N_a / T m₀ = 6,53 10 ⁸ расп/сек

1 кюри = 3,7 10 ¹⁰ расп/сек, следовательно: А = 17,7 мккюри.

Ответ: А = 17,7 мккюри.

 

Пример №3. Найдите энергию, освобождающуюся при ядерной реакции:

₃ Li ⁷ + ₁ H ¹ → ₂ He ⁴+ ₂ He ⁴.

Дано:	Решение:
3 Li ^7 + 1 H ^1→ 2 He ^4+ 2 He ^4 m1 = 7,01823 а.е.м m2 = 1,00814 а.е.м m3 = 4,00388 а.е.м	E = c^2 (∑ M1 - ∑ M2) = c^2∆M. Сумма масс исходных частиц: ∑ M1 = m1 + m2 = 8,02637 а.е.м. Сумма масс образовавшихся частиц: ∑ M2 = 2 m3 = 8,00776 а.е.м.
E =?

Таким образом, дефект масс:

∆M = 0,01861 а.е.м.

Следовательно, энергия, выделившаяся при реакции:

E = ∆M 931 МэВ

Ответ: E = ∆M 931 МэВ

 

Пример №4. Принимая, что источником энергии солнечного излучения является энергия образования гелия из водорода по следующей циклической реакции:

₆ C ¹² + ₁ H ¹→ ₇ N ¹³ → ₆ C ¹³ + ₊₁ e ⁰

₆ C ¹³ + ₁ H ¹ → ₇ N ¹⁴

₇ N ¹⁴ + ₁ H ¹ → ₈ O ¹⁵ → ₇ N ¹⁵ + ₊₁ e ⁰

₇ N ¹⁵ + ₁ H ¹ → ₆ C ¹² + ₂ He ⁴

Посчитать, сколько тонн водорода ежесекундно должно превращаться в гелий. Солнечная постоянная равна 1,96 кал/см² мин. Принимая, что водород составляет 35 % массы Солнца, посчитать, на сколько лет хватит запаса водорода, если излучение Солнца считать неизменным.

Дано:	Решение:
m(6 C ^12) = 12,0038 а.е.м m(1 H ^1) = 1,00814 а.е.м m(7 N ^13) = 13, 00987 а.е.м m(6 C ^13) = 13,00335 а.е.м m(7 N^14) = 14,00752 а.е.м m(2 He ^4) = 4,00388 а.е.м m(7 N^15) = 15,00011 а.е.м m(+1 e^0) = 0,00055 а.е.м 1,96 кал/см^2 мин m(1 H ^1) = Mc 0,35 Mc = 2 10 ^30 кг r = 1,49 10 ^11м	В результате проведенного цикла четыре водородных ядра превращаются в одно ядро гелия. Углерод, ведущий себя как химический катализатор, может использоваться снова. В результате этого цикла освобождается энергия, равная   E = c^2∆M = 4,3 * 10 ^–12 Дж. где ∆M – дефект масс. С другой стороны, зная величину солнечной постоянной и расстояние от Земли до Солнца, найдем излучение Солнца в 1 секунду: Е1 = 3,8 10 ^26 Дж. Если превращение четырех атомов водорода дает энергию 4,3 10 ^–12 Дж, то очевидно, для излучения энергии 3,8 10 ^26 Дж необходимо расходовать водород в количестве m = 5,9 10 ^11 кг в одну секунду. Так как масса Солнца равна 2 10 ^30 кг, то запас водорода в солнечном веществе равен m(1 H ^1) = Mc 0,35 = 2 10 ^30 0,35 = 7 10 ^29 кг.
t =?

Следовательно, данного запаса водорода хватит на t = 4 10 ¹⁰ лет.

Ответ: t = 4 10 ¹⁰ лет.

 

Пример №5. В реакции ₇ N ¹⁴ (α, p) кинетическая энергия α – частицы (₂ He ⁴)равна E_α = 7,7 МэВ. Найти, под каким углом к направлению движения α – частицы вылетает протон, если известно, что его кинетическая энергия E_p = 8,5 МэВ.

 

Дано:	Решение:
7 N ^14(α, p) Eα = 7,7 МэВ Ep = 8,5 МэВ m1 = 4,00388 а.е.м m2 = 1,00759 а.е.м m3 = 15,99491 а.е.м	Запишем ядерную реакцию: α + 7 N ^14 → p + 8 O ^16. Обозначим m1, m2, m3 – массовые числа бомбардирующей α –частицы, протона и ядра отдачи (в нашем случае ядра кислорода 8 O ^16) E1 , E2, E3 – их кинетические энергии. Если ядро азота неподвижно, то по закону сохранения энергии: E1 + Q = E2 + E3, где Q – энергия ядерной реакции.
φ =?

Закон сохранения импульса:

p₃ ² = p₁ ² + p₂ ² – 2 p₁ p₂ cos φ.

Так как:

p ² = (m v)² = (m v² / 2) 2 m = E 2 m,

то примет вид:

2 m₃ E₃ = 2 m₁ E₁ + 2 m₂ E₂ - 4 cos φ ,

или

E₃ = m₁ E₁/ m₃ + m₂ E₂/ m₃ - 2 cos φ  / m₃.

Исключая энергию Е₃ получим формулу, связывающую кинетическую энергию бомбардирующих частиц с кинетической энергией полученных частиц:

E₁ (m₃ - m₁) / m₃ + Q = E₂ (m₃ + m₂) / m₃ - 2 cos φ  / m₃.

Здесь Q = - 1,18 МэВ.

Решая относительно cos φ и подставив численные данные получим:

cos φ = (m₃ + m₂)/2  - (m₃ - m₁) / 2  – m₃ Q / 2  = 0,59.

φ = arccos 0,59 = 54 ⁰

Ответ: φ = arccos 0,59 = 54 ⁰

Задания для аудиторной работы

1. Определите период полураспада радиоактивного изотопа, если 5/8 начального количества ядер радиоактивного изотопа распадается за время t=849 с.

Ответ: 0,75.

2. Определите, какая часть начального количества ядер радиоактивного изотопа распадается за время t, равное двум периодам полураспада.

Ответ: Т_1/2 =10 мин.

3. Постоянная радиоактивного распада изотопа актиния  составляет 10 суток. Определите время, за которое распадется 1/3 началь-ного количества ядер актиния.

Ответ: t=5,85 сут.

4. Первоначальная масса радиоактивного изотопа иода (период полураспада Т_1/2 =8 сут) равна 1 г. Определите: 1) начальную активность изотопа; 2) его активность через 3 суток.

Ответ:1) А₀= 4,61×10¹⁵ Бк; 2) А= 3,55×10¹⁵ Бк..

5. Определите период полураспада Т_1/2 некоторого радиоактивного изотопа, если его активность за 5 суток уменьшилась в 2,2 раза.

Ответ: Т_1/2 =4,4 сут.

6. Определите, какая энергия в электрон –вольтах соответствует дефекту массы Dm =3×10^-20мг.

Ответ: Е=16,9 ГэВ.

7. Определите энергию связи ядра атома гелия Масса нейтрального атома гелия равна 6,6467×10^-27кг. ×10^-27кг, .

Ответ: Е_св =28,4 МэВ.

8. Радиоактивный изотоп радия претерпевает четыре a- распада и два b^- - распада. Определите для получившегося ядра зарядовое и массовое числа. Ответ: Z= 82, А= 209.

9. Радиоактивный изотоп радия претерпевает последовательно a- распад, два b^- -распада и еще один a- распад. Определите конечный продукт деления.

10. Постоянная радиоактивного распада изотопа свинца равна

l=10^-9с^-1. Определите время, в течение которого распадется 2/5 нача-льного количества ядер этого изотопа.