Задачи для аудиторной работы.

1. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n =2), будет обнаружен: 1) первой трети ящика; 2) в средней трети ящика; 3) в третьей трети ящика.

2. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Написать уравнение Шрёдингера и его решение в тригонометрической форме для области II (0<x< l). 

3. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в основном состоянии (n =1), будет обнаружен: 1) в средней трети ящика; 2) в третьей трети ящика.

4. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в основном состоянии (n =1), будет обнаружен в интервале l /4, равноудаленном от стенок ящика.

5. Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид: де U - потенциальная энергия микрочастицы. Какое уравнение соответствует электрону в атоме водорода?

 

6. Собственные функции электрона в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками имеют вид: где L- ширина ящика, n- квантовое число, имеющее смысл номера энергетического уровня. Если N- число узлов y_n- функции на отрезке

Задачи

1. Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода.

2. Больше или меньше энергия частицы, находящейся в «потенциальной яме» c бесконечно высокими «стенками», в состоянии с n =3   по сравнению с состоянием n =1?  Во сколько раз?

3. Какова наименьшая величина энергии частицы в «потенциальной яме» c бесконечно высокими «стенками»?

4. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l c бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность обнаружения электрона в: 1) левой трети «ямы»; 2) средней трети «ямы»; 3) правой трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии с n=2.

5.  Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l c бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность обнаружения электрона в интервале от l /4 до 3 l /4,если электрон находится в возбужденном состоянии с n=3.

6. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l =0,1 нм. Определить в электрон –вольтах разность энергий, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,99. [0,1мэВ].

Билеты для контроля усвоения темы

БИЛЕТ N 1

1. Записать: 1) уравнение колебаний квантового осциллятора. 2) Сформулировать соотношение неопределенностей Гейзенберга.

 2.Запишите: а) условие нормировки для пси-функции; б) соотношение неопределенностей Гейзенберга.

3.Электрон находится в одномерной потенциальной яме шириной L=0,5 нм с бесконечно высокими стенками. Определить вероятность обнаружения электрона в левой трети ямы, если он находится в возбужденном состоянии с n=3.

 4. В чем отличие поведения классической и квантовой частиц с энергией Е <U при их падении на прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины?

 

БИЛЕТ N 2

1. Запишите: а) стационарное одномерное уравнение Шрёдингера; б) формулу, определяющую глубину проникновения квантовой частицы вглубь барьера.

2.а)Какой энергетический уровень называется основным? б) обобщенную формулу Бальмера. 

3.Вывести формулу для расчета радиуса n -й орбиты электрона в атоме водорода.

4. Что определяет квадрат модуля волновой функции?

Рассчитать величину радиуса и скорости электрона для первой боровской орбиты.

БИЛЕТ N 3

1. Запишите: а) одномерное стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и его решение; 

б) формулу, определяющую потенциальную энергию электрона в электростатическом поле ядра.

2. Почему из различных серий спектральных линий атома водорода первой была изучена серия Бальмера?

4. Частица находится в одномерной потенциальной яме шириной L с бесконечно высокими стенками в возбужденном состоянии (n=2). Определите вероятность обнаружения частицы в области 5L/8³/x³3L/8.

 

БИЛЕТ N 4

1.Запишите: а) формулу, определяющую энергетический интервал между двумя соседними энергетическими уровнями; б) формулу, определяющую коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера.

2. Запишите: а) формулу Бальмера; б) и соотношение неопределенностей Гейзенберга.

3. Какими свойствами частиц обусловлен туннельный эффект?

4. Электрон в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l = 200 пм с бесконечно высокими "стенками" находится основном состоянии. Определить вероятность обнаружения частицы в левой трети ямы.

БИЛЕТ N 5

1.Запишите: а) одномерное стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и его решение; 

б) формулу, определяющую величину энергии частицы на уровне с номером n.

2.Запишите формулу, определяющую: а) б) коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины.

4.Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах разность энергий U-E, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,99.

3.

БИЛЕТ N 6

1.Запишите: а) определение свободной частицы; б) формулу, определяющую разность энергий для двух соседних энергетических уровней.

2. Запишите: а) Какой энергетический уровень называется основным? б) условие нормировки для пси- функции.

3. Сравните величины энергии частицы, находящейся в «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками, в двух состояниях состояниях: 1) с n=3 и2) n=1.

4. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 1% от её числового значения, определить неопределенность координаты электрона.

Практическое занятие №9

Тема: Теория атома водорода

Основные формулы

Энергия фотона	; hω	(1) (2)
Масса фотона		(3)
Импульс фотона		(4)
Энергия ионизации атома водорода	Еi= 2πℏR= 13.6 эВ, где R- постоянная Ридберга, R=3,290·10^15с^-1	(5)
Момент импульса электрона на стационарных орбитах	n=1,2,3….	(6)
Энергия электрона, находящегося на n-й орбите		(7)
Сериальная формула	или v = R	(8)   (9)
Радиус n-й стационарной орбиты		(10)
Постоянная Ридберга		(11)
Энергия фотона, испускаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое	m=n+1, и т.д.	(12)

Методические указания

 При решении  задач по теме «Теория атома водорода по Бору» применяют два постулата Бора, предполагая, что электроны вращаются вокруг ядра по круговым орбитам.

 Радиус n-й орбиты и скорость электрона  на ней связаны  друг с другом выражением момента импульса для стационарных орбит. При расчете радиуса орбиты и скорости движения на этой орбите учитывают условие стационарности орбит.

 В качестве основного закона динамики используют уравнение движение электрона в поле ядра. При этом сила взаимодействия между электрическим зарядом ядра и зарядом электрона сообщает электрону центростремительное ускорение.

 

Примеры решения задач

Пример №1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (боровский радиус) и скорость электрона на этой орбите.

Дано:	Решение:
n = 1	Согласно теории Бора, радиус r электронной орбиты и скорость v электрона на ней связаны равенством: m v r = n ħ.
r =? v =?

Так как требуется определить величины, относящиеся к первой орбите, то главное квантовое число n = 1 и равенство примет вид:

m v r = ħ.

Для определения неизвестных величин r и v необходимо еще одно уравнение. Воспользуемся уравнением движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона запишем

m v² / r = 1 / 4 π ε₀ e²/ r²,

(e и m - заряд и масса электрона).

m v² = 1 / 4 π ε₀ e²/ r.

Совместное решение равенств относительно дает:

r = 4 π ε₀ ħ² / me².

Подставив сюда значения ħ, e, m и произведя вычисления, найдем боровский радиус:

r₁ = 5,29 10 ^{– 11 м.}

Получим выражение скорости электрона на первой орбите:

v = ħ / m r.

Расчет:

v = 2, 18 * 10 ⁶ м/c.

Ответ: r₁ = 5,29 * 10 ^{– 11 м,} v = 2, 18 * 10 ⁶ м/c.

Пример №2. Определить энергию ε фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.

Дано:	Решение:
Для серии Пашена: n1 = 3 для второй линии этой серии m = 2	Энергия ε фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую: ε = Ei (1 / n1^2 - 1 / n2^2). где Ei – энергия ионизации атома водорода; n1 = 1, 2, 3,…- номер орбиты, на которую переходит электрон;
ε =?

n₂ = n₁ + 1; n₁ + 2; …; n₁ + m – номер орбиты, с которой переходит электрон;

m - номер спектральной линии в данной серии. Для серии Пашена n₁ = 3; для второй линии этой серии m = 2,

n₂ = n₁ + m = 3 + 2 = 5.

Расчет: ε = 0,97 эВ

Ответ: ε = 0,97 эВ

Пример №3. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра.

Дано:	Решение:
k = 2 n = 3, 4, 5, …	Длины волн спектральных линий водорода всех серий определяются формулой: .
λmin =? λmax =?

При k = 1, n = 2, 3, 4,… – серия Лаймана в ультрафиолетовой области,

при k = 2, n = 3, 4, 5,… – серия Бальмера в видимой области,

при k = 3, n = 4, 5, 6,… – серия Пашена в инфракрасной области,

при k = 4, n = 5, 6, 7,… – серия Брекета в инфракрасной области,

при k = 5, n = 6, 7, 8,… – серия Пфунда в инфракрасной области.

Таким образом, серия в видимой области спектра соответствует значению k = 2 и n = 3, 4, 5,… Очевидно, наименьшая длина волны спектральных линий этой серии будет при n = ∞.

Тогда:

1 / λ_min = R / 4,

или

λ_min = 4 / R = 3,65 10 ^–7 м.

Наибольшая длина волны соответствует n = 3.

λ_max = 6,56 10 ^–7 м.

Таким образом, видимый спектр водорода лежит в интервале длин волн от 3,65 10 ^–7 м до 6,56 10 ^–7 м.

Ответ: λ (3,65 10 ^–7; 6,56 10 ^–7) м.

Пример №4. Определить линейную частоту вращения электрона по третьей орбите атома водорода, по теории Бора.  

Дано:	Решение:
Z = 1 m = 3…	Основной закон динамики для движения электрона по третьей орбите в атоме водорода имеет вид:

n=?

. (1)

В третьем стационарном состоянии, электрон, двигаясь по круговой орбите обладает моментом импульса, значение которого равно:

(2)

  Решая cистему двух уравнений с двумя неизвестными  (1) и (2) получим:    (3); ;

Используя связь между линейной скоростью и линейной частотой вращения, получим ответ на вопрос задачи:

= (5).

 Расчет: =2,42∙10¹⁴ (Гц).

 Ответ: = 2,42∙10¹⁴ (Гц).

  Пример №5. Определить частоту света, излучаемого атомом водорода, при переходе электрона на уровень с главным квантовым числом n=2, если радиус орбиты электрона изменилcя в k=9 раз.

Дано:	Решение:
n = 2 k = 9 n=?	Согласно условиям задачи отношение радиусов орбит электрона в атоме водорода имеет вид:     Искомую линейную частоту найдем, воспользовавшись сериальной формулой Бальмера: (2). Выразим из соотношения (1) величину: и подставим это значение в соотношение (2), получим ответ на вопрос задачи:  (4). Расчет: =0,731∙10^15 (Гц).  Ответ:  = 0,731∙10^15 (Гц).

 

Пример №6.   Учитывая, что энергия ионизации атома водорода составляет Е_i=13,6 эВ, определите в электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую самой коротковолновой линии серии Бальмера  атома водорода.    Нарисуйте энергетическую диаграмму переходов для серии Бальмера.

Дано: Еi=13,6 эВ

Решение: Энергия ионизации - это энергия соответствующая отрыву электрона от атома (Е бесконечн – Еmin)= Еi

Е_{Б min}=?

 По определению энергия ионизации равна:

Самой коротковолновой линии  серии Бальмера спектра атома водорода соответствует переход с уровня с m=6 на уровень n=2(в серии Бальмера все переходы совершаются с выше лежащих уровней на второй), тогда энергия, соответствующая этому переходу будет равна:

=

Нарисуем энергетическую диаграмму:

 

Расчет: ; Ответ:

Пример №7.   Учитывая, что энергия ионизации атома водорода составляет Е_i=13,6 эВ, определите первый потенциал возбуждения j₁ этого атома.

Дано: Еi=13,6 эВ j1=?

Решение: Энергия ионизации - это энергия соответствующая отрыву электрона от атома (Е бесконечн – Еmin)= Еi.

 

А первый потенциал возбуждения j₁ – это ускоряющее напряжение, соответствующее переходу невозбужденного атома в первое возбужденное состояние, который равен: =hR (1)

 С другой стороны:

Для первого потенциала возбуждения: n=1, m=2.

 Из соотношения  (2)  выразим j₁  и получим ответ на вопрос задачи:

Расчет: Ответ: