Определение эмпирических функциональных зависимостей

и их параметров

 

Целью измерения может являться установление вида функциональной  зависимости между измеряемыми неодноименными величинами. Если величина у зависит от величины х, то для определения вида этой зависимости необходимо одновременно измерять как значения x _i, так и соответствующие им значения y _i. Совместная обработка всех полученных значений x _i, y _i позволяет найти эмпирическую формулу   y = f(x),  описывающую искомую зависимость.

Существуют различные методы вывода эмпирических формул. Согласно простейшему из них экспериментальные точки x_i, y_i наносят на график, затем визуально оценивают, можно ли провести какую- либо линию L (прямую, параболу и т.д.) так, чтобы точки x_i, y_i  компактно группировались относительно нее (рис. 5). Выбрав соответствующую линию L, делают выводы о виде функции f (х). Если экспериментальные точки расположены вдоль некоторой прямой L (рис. 6), то аппроксимирующая функция f (х) выбирается в виде

                              y = а ₀ + а ₁ x.                                          (16)

Для определения параметров а ₀ и а ₁ выбирают на прямой L две

точки М₁ (x ₁, y ₁) и М₂ (x ₂, y ₂) и составляют два уравнения

                    у ₁ = а ₀ + а ₁ x ₁ , у ₂ = а ₀ + а ₁ x ₂ ,                 (17)

из которых следует:            

а ₀ = ,        а ₁ =   = .              (18)

y                                              L                                                                     x	y                                  L                                                   * M2 (x 2 y 2)                                                                                                              D у                y 0 ·          D х  M1 (x 1 y 1)   *              x 0                                                                   х
Рисунок 5	Рисунок 6

Величины а ₀ и а ₁  можно определить графически, находя точки пересечения x ₀, y ₀ прямой L с координатными осями. Тогда

                          а ₀ = y ₀ , а ₁ = - у ₀ / х ₀.                            (19)

Очевидно, что а ₁ - угловой коэффициент графика функции (16).

Значения параметров а ₀, а ₁, … а _n   с учетом распределения погрешностей измерений могут быть получены методом наименьших квадратов (МНК), в котором используется условие минимума суммы квадратов отклонений   =  а ₀, а ₁, … а _n )  - y _i ]² = min.

Во многих случаях экспериментальные точки х_i,y_i не располагаются

вблизи прямой в координатной системе (х, у). Тогда вид аппроксимирующей функции f (х) устанавливают с помощью замены переменных                           

                                v = v (x, y), u = u (x, y),                          (20)

выбирая подходящие функции.

Если на графике в системе координат (u, v) экспериментальные

точки v _i  = j (x _i, y _i), u_i = y (x _i, y _i) группируются вдоль прямой линии

                                       v = а ₀ + а ₁ u,                                       (21)

то, определив по формулам вида (18), (19) значения параметров а ₀  и а ₁, можно с помощью формул (20) найти вид f (х).

Например, для проверки того, описывается ли исследуемая зависимость степенной функцией вида

                             у =   с х ^b ,                                            (22)

следует прологарифмировать данную функцию: ln y = ln с + b ln x. Полученное уравнение есть уравнение прямой в координатах ln y, ln x, поэтому

проверка выбора аппроксимирующей функции состоит в логарифмировании экспериментальных значений x_i, y_i  и построении графика в осях ln y, ln x (Рис.7).

у                                                                                                                                      х	ln y                                        2                                              ·                                                                                                D ln у                                                   1 ·                           D ln x                                                        x
Рисунок 7

Если экспериментальные точки на данном графике удовлетворительно группируются относительно прямой линии, то функция (22) может быть принята в качестве аппроксимирующей. Тогда в соответствии с (16)- (18) и (22) можно найти значения параметров b и c:

, с = у ₁ / = у ₂ / .

Проверка соответствия показательной функции 

                                   у = с e ^{b x}                                           (23)    

экспериментальным данным заключается в построении графика в полулогарифмическом масштабе, так как в координатах ln у, x она образует прямую ln y = ln с + b x. Если построенный график достаточно точно отображает прямую линию, то функция (23) описывает наблюдаемую зависимость у  от x (Рис.8).

Выбор аппроксимирующей функции - задача неформализуемая, так как одна и та же кривая на данном отрезке с одинаковой точностью может быть описана различными аналитическими выражениями. Поэтому рациональный выбор той или иной функции основан на учете определенных требований, основными из которых являются достаточная простота  математического выражения и его содержательность. Содержательность полученной формулы заключается в возможности придания ее параметрам определенного физического смысла.  

Параметры b и c  находятся по формулам

у                                             х	ln y                     1 ^·                  D ln у                                                                                                        D x          2 ^·                                                             x
Рисунок 8

,  с =  у ₁ e ^{- b x},

В условиях физического практикума, как правило, производится сопоставление результатов эксперимента с известной теоретической зависимостью, описывающей изучаемое явление. В этом случае теоретическая зависимость выступает в роли аппроксимирующей функции f, и задача сводится к определению по данным эксперимента значений ее параметров и сопоставлению полученных результатов с выводами теории.

Например, при изучении свободного падения тела на основании данных о координатах тела у_i  в определенные моменты времени t_i  аппроксимирующей функцией является зависимость у = g t ² / 2, которая в координатах v = y, u = t ²   переходит в линейную зависимость v = (g /2) u. Если на графике экспериментальные точки v_i = y_i, u_i = t_i ²  расположены вблизи прямой v = а ₁ u, то аппроксимирующая зависимость у = g t ² / 2 представляется удовлетворительной. Тогда, определив по графику значение параметра а ₁ , можно вычислить ускорение свободного падения g = 2 а ₁. 

При изучении процесса разрядки конденсатора по результатам измерения заряда конденсатора q_i  в определенные моменты времени t_i  аппроксимирующей функцией является предсказываемая теорией зависимость 

                                            q (t) = q ₀ e ^{- t / t},                                      (24)

где q ₀  - заряд конденсатора в момент t = 0, t - время релаксации, причем t = R С, R – сопротивление цепи разряда, С - емкость конденсатора. В соответствии с (24) ln q = ln q ₀ - t / t, ln q ₀ = а ₀, - 1/t = а ₁. Если на графике экспериментальные точки ln q _i, t _i располагаются вдоль прямой, то можно полагать, что аппроксимирующая зависимость (24) является

удовлетворительной. Тогда, определив по графику значения а ₀  и а ₁, можно вычислить величину q ₀ и время релаксации t.