Вычисления с приближенными числами

 

Вычисления, сопровождающие измерения, проводят как с точными, так и с приближенными числами. К точным числам относят значения переводных или масштабных множителей, коэффициенты и показатели степени. Приближенные числа получаются в результате измерений, округлений и вычислений. Все цифры в десятичном представлении числа (кроме нулей, стоящих в начале числа) называются значащими (в числе 0,015 - две значащие цифры, в числе 1,50 - три).

Округлением числа называют уменьшение количества значащих цифр числа путем отбрасывания одной или нескольких последних цифр. При округлении последняя сохраняемая цифра остается без изменения, если старшая отбрасываемая цифра меньше 5 (8,62 ® 8,6). Последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если отбрасываемая цифра больше или равна 5 (8,67 ® 8,7). Если отбрасывается только цифра 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она четная (8,65 ® 8,6), и увеличивается на единицу, если она нечетная (8,55 ® 8,6). Если после округления последней сохраняемой цифрой окажется нуль, то его надо записывать (8,96 ® 9,0). Например, последовательное округление дает следующий результат: 8,6548 ® 8,655 ® 8,66 ® 8,7 ® 9. Нули, заменившие цифры, отброшенные при округлении в конце числа, не пишут. Их заменяют множителем 10ⁿ   или переходят к кратным единицам измерения: 8,367 ® 8400 ® 8,4 × 10³, 2666 м ® 3000 м ® 3 км.

Разность между округляемым числом и результатом округления составляет погрешность округления. Погрешность округления не превышает половины единицы разряда последней сохраняемой цифры.

Приближенное число содержит верные и сомнительные цифры. Цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа составляет менее единицы разряда этой цифры. Все цифры числа, стоящие левее верной, также верны. Цифру, стоящую справа за последней верной цифрой, называют сомнительной цифрой. Цифры, стоящие справа от сомнительной цифры, называются неверными. Неверные цифры отбрасывают путем округления числа. Например, в значении 1,264, полученном для некоторой величины с погрешностью 0,03, верными являются цифры 1 и 2, сомнительной - цифра 6, а неверной - цифра 4.

Верные и сомнительные цифры числа являются значащими цифрами. Для нахождения значащих цифр числа нужно знать его сомнительную цифру, определяемую значением погрешности числа. Если погрешность приближенного числа не указывается (в частности, в математических таблицах и ряде таблиц физических величин), то все цифры этого числа – значащие. В данном случае  предполагается, что величина предельной погрешности равна половине единицы разряда последней цифры этого числа. Например, для табличного значения плотности алюминия r = 2,69 ×10³  кг/ м³

погрешность округления составляет ± 0,005 × 10³  кг/ м³.

                      

 Округление погрешностей и результатов измерений

 

Неопределенность результата измерения характеризуется указанием

погрешности, определяемой в соответствии с видом измерения.

Числовое значение погрешности всегда определяют не точно, а с некоторой погрешностью. Поэтому не имеет смысла учитывать все цифры, полученные при вычислении погрешности. Однако не следует допускать и

слишком грубого округления. На практике установлены следующие правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного результата измерения.

1) Погрешность D х результата измерения в окончательной записи выражают двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, если первая цифра 3 и более.

При округлении погрешностей последняя сохраняемая цифра всегда увеличивается на единицу, если только старшая отбрасываемая цифра не нуль. Данное правило округления погрешности изменяет ее значение не более чем на 20-30%.

2) Полученную оценку истинного значения измеряемой величины округляют до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение погрешности.

3) Число значащих цифр при округлении относительной погрешности e должно соответствовать числу значащих цифр абсолютной погрешности результата измерения.

Например, при измерении длины получено значение l = 136,2 мм с погрешностью D l = 12,4 мм. Окончательный результат записывают в виде

 l = (1,36 ± 0,13) дм, e = 0,10.

Если  l = 136,2 мм, а D l = 6,5 мм, то окончательный результат имеет вид

 l = (136 ± 7) мм, e = 0,05.

 

Рекомендации к оформлению таблиц и построению графиков

 

В большинстве случаев результаты эксперимента явлений представляют в виде таблиц, схем, графиков.

Численные результаты оформляют в виде таблиц. Название таблицы, при его наличии, должно отражать ее содержание и быть кратким. Название таблицы помещают над таблицей в одну строку с ее номером.

Каждый столбец (колонка) должен иметь заголовок, обозначение и единицу измерения указываемой величины. В первых столбцах указывают величины, играющие роль аргумента, в последующих - роль функции. Ставить кавычки вместо повторяющихся чисел, символов и знаков не допускается. Если цифровые или иные данные в какой- либо строке не  приводят, то в ней ставят прочерк. Пример оформления таблицы приведен на рисунке 9.

 

Таблица_____________ - _________________

                 номер              название таблицы

			Заголовки граф
			Подзаголовки граф
			} строки
графа для заголовков	графы (колонки)

Рисунок 9

График дает наглядное представление об общем характере исследуемой зависимости и облегчает ее детальный анализ. Графики выполняются в карандаше на миллиметровой бумаге. Допускается выполнение графиков посредством компьютерной печати. 

На графике по оси абсцисс откладывается независимая переменная, т.е. величина, которую задает экспериментатор, а по оси ординат - определяемая при этом величина. Начало координат не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями откладываемых величин. В качестве начала отсчета по каждой шкале можно взять целое число, ближайшее к наименьшему значению соответствующей величины. Масштаб по каждой оси выбирают так, чтобы наименьшее деление шкалы соответствовало бы значению погрешности откладываемой величины. Кроме того, масштабы должны быть простыми, т.е. шкалы вдоль осей могут образовывать следующие ряды: , , , . Цифровые значения проставляются снизу и слева от поля графика. Справа снизу и слева вверху проставляют обозначения физических величин и единиц их измерения. Если значения величин имеют множитель 10ⁿ, множитель надо ставить один раз рядом с символом величины в конце шкалы.

Экспериментальные точки представляют в виде условных знаков небольшого размера (кружков, ромбов, треугольников и т.д.). На графике должны быть представлены все  экспериментальные точки. Как правило, через экспериментальные точки проводят гладкую линию так, чтобы разброс экспериментальных данных относительно этой линии был бы одинаков. Недопустимо соединять экспериментальные точки ломаной линией (Рис.10).

 

 

y                                                      х                 неверно

у                                               х              верно

                                                    Рисунок 10

Рисунок 11

Значение доверительного интервала экспериментальных точек может быть показано на графике так, как на рис.11.

Если на графике проводится несколько линий, то каждой линии

присваивается номер, а в подписи к рисунку указывают название, обозначение, численное значение и единицы измерения параметра, соответствующего номеру. Под графиком приводится номер рисунка и название отображаемой зависимости. Графики подклеиваются в отчете после таблиц, отражающих соответствующие зависимости.

 

Оформление отчета

 

По результатам выполненной лабораторной работы составляется отчет, оформленный на листах белой бумаги формата А4. Текст размещается на одной стороне листа. В отчете должны  быть четкие прямые линии, буквы, цифры и знаки. Повреждения листов и помарки не допускаются.

В отчете указывается цель работы, приводятся сведения об используемых измерительных приборах и оборудовании, схема экспериментальной установки, расчетные формулы с пояснениями входящих в них величин. Результаты всех измерений представляются в форме таблиц и графиков. Отчет завершается выводами, в которых проводится анализ эксперимента и делается заключение о выполнении поставленной задачи.

 В выводах необходимо:

а) указать цель и метод исследования, а также сведения о применяемом оборудовании, б) привести полученные результаты исследования (значения физических величин, характер исследуемых закономерностей) и обсудить их, в) произвести анализ погрешностей с указанием их источников, г) сделать замечания о работе экспериментальной установки.

 

Лабораторная работа № 40